Question

已知橢圓的兩焦點為F₁（-1，0）、F₂（1，0），P為橢圓上一點，且|F₁F₂|是|PF₁|與|PF₂|的等差中項．
（1）求此橢圓方程；
（2）若點P滿足∠F₁PF₂=120°，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)所求的橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），由已知得|F₁F₂|=2，故|PF₁|+|PF₂|=4=2a，由此能求出橢圓方程．
（2）在△PF₁F₂中，|PF₁|=m，|PF₂|=n，由余弦定理得4=m²+n²-2mncos120°，由此能求出△PF₁F₂的面積．

解答：解：（1）設(shè)所求的橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
由已知得|F₁F₂|=2，
∴|PF₁|+|PF₂|=4=2a，
∴a=2，b²=a²-c²=4-1=3
∴此橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）在△PF₁F₂中，|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由余弦定理得4=m²+n²-2mncos120°，
∴4=（m+n）²-2mn-2mncos120°=16-mn，
∴mn=12，
∴S△PF₁F₂=

1

2

mnsin120°=

1

2

×12×

3

2

=3

3

．

點評：本題考查數(shù)列與解析幾何的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．