Question

如圖，在底面是直角梯形的四棱錐　　P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4．AD=2，AB=，BC=6．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；]
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．
又，，
∴∠ABD=30，°∠BAC=60°
∴∠AEB=90°，即BD⊥AC
又PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）過E作EF⊥PC，垂足為F，連接DF，
∵DE⊥平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂線定理知PC⊥DF，
∴∠EFD為二面角A-PC-D的平面角．
又∠DAC=90°-∠BAC=30°
∴DE=ADsin∠DAC=1，AE=ABsin∠ABE=，
又AC=，
∴EC=，PC=8．
由Rt△EFC∽Rt△PAC得
在Rt△EFD中，，
∴．
∴二面角A-PC-D的余弦值為．
解法二：（Ⅰ）如圖，建立坐標系，則A（0，0，0），B（），，D（0，2，0），P（0，0，4）
∴，
∴，
∴BD⊥AP，BD⊥AC，又PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）設(shè)平面PCD的法向量為，
則，
又，
∴，解得
∴
平面PAC的法向量取為
∴=
∴二面角A-PC-D的余弦值為．
分析：解法一：（Ⅰ）根據(jù)PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可得BD⊥PA．又可證BD⊥AC，利用線面垂直的判定定理，我們可證BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）過E作EF⊥PC，垂足為F，連接DF，則∠EFD為二面角A-PC-D的平面角．在Rt△EFD中，我們可求二面角A-PC-D的余弦值為．
解法二：（Ⅰ）建立空間坐標系，利用向量的數(shù)量積，我們可以證明BD⊥AP，BD⊥AC，利用線面垂直的判定定理，我們可證BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）設(shè)平面PCD的法向量為，利用，可得，平面PAC的法向量取為，利用，我們可求二面角A-PC-D的余弦值．
點評：本題以四棱錐為載體，考查線面垂直，考查面面角，采用兩種解法，體現(xiàn)了一題多解，又體現(xiàn)了向量解法的優(yōu)越性．