解法一:(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴BD⊥PA.
又
,
,
∴∠ABD=30,°∠BAC=60°
∴∠AEB=90°,即BD⊥AC
又PA∩AC=A,
∴BD⊥平面PAC.
(Ⅱ)過E作EF⊥PC,垂足為F,連接DF,
∵DE⊥平面PAC,EF是DF在平面PAC上的射影,由三垂線定理知PC⊥DF,
∴∠EFD為二面角A-PC-D的平面角.
又∠DAC=90°-∠BAC=30°
∴DE=ADsin∠DAC=1,AE=ABsin∠ABE=
,
又AC=
,
∴EC=
,PC=8.
由Rt△EFC∽Rt△PAC得
在Rt△EFD中,
,
∴
.
∴二面角A-PC-D的余弦值為
.
解法二:(Ⅰ)如圖,建立坐標系,則A(0,0,0),B(
),
,D(0,2,0),P(0,0,4)
∴
,
∴
,
∴BD⊥AP,BD⊥AC,又PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC.
(Ⅱ)設(shè)平面PCD的法向量為
,
則
,
又
,
∴
,解得
∴
平面PAC的法向量取為
∴
=
∴二面角A-PC-D的余弦值為
.
分析:解法一:(Ⅰ)根據(jù)PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,可得BD⊥PA.又可證BD⊥AC,利用線面垂直的判定定理,我們可證BD⊥平面PAC.
(Ⅱ)過E作EF⊥PC,垂足為F,連接DF,則∠EFD為二面角A-PC-D的平面角.在Rt△EFD中,我們可求二面角A-PC-D的余弦值為
.
解法二:(Ⅰ)建立空間坐標系,利用向量的數(shù)量積,我們可以證明BD⊥AP,BD⊥AC,利用線面垂直的判定定理,我們可證BD⊥平面PAC.
(Ⅱ)設(shè)平面PCD的法向量為
,利用
,可得
,平面PAC的法向量取為
,利用
,我們可求二面角A-PC-D的余弦值.
點評:本題以四棱錐為載體,考查線面垂直,考查面面角,采用兩種解法,體現(xiàn)了一題多解,又體現(xiàn)了向量解法的優(yōu)越性.