【題目】已知數(shù)列{an},{bn}都是單調遞增數(shù)列,若將這兩個數(shù)列的項按由小到大的順序排成一列(相同的項視為一項),則得到一個新數(shù)列{cn}.
(1)設數(shù)列{an},{bn}分別為等差、等比數(shù)列,若a1=b1=1,a2=b3 , a6=b5 , 求c20;
(2)設{an}的首項為1,各項為正整數(shù),bn=3n , 若新數(shù)列{cn}是等差數(shù)列,求數(shù)列{cn} 的前n項和Sn;
(3)設bn=qn﹣1(q是不小于2的正整數(shù)),c1=b1 , 是否存在等差數(shù)列{an},使得對任意的n∈N* , 在bn與bn+1之間數(shù)列{an}的項數(shù)總是bn?若存在,請給出一個滿足題意的等差數(shù)列{an};若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:設等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,
由題意得, ,解得d=0或3,因數(shù)列{an},{bn}單調遞增,
所以d>0,q>1,
所以d=3,q=2,
所以an=3n﹣2,bn=2n﹣1.
因為a1=b1=1,a2=b3,a6=b5,b7>a20.
∴c20=a17=49.
(2)解:設等差數(shù)列{cn}的公差為d,又a1,且bn=3n,
所以c1=1,所以cn=dn+1﹣d.
因為b1=3是{cn}中的項,所以設b1=cn,即d(n﹣1)=2.
當n≥4時,解得d= <1,不滿足各項為正整數(shù);
當b1=c3=3時,d=1,此時cn=n,只需取an=n,而等比數(shù)列{bn}的項都是等差數(shù)列{an},中的項,所以Sn= ;
當b1=c2=3時,d=2,此時cn=2n﹣1,只需取an=2n﹣1,
由3n=2m﹣1,得m= ,3n是奇數(shù),3n+1 是正偶數(shù),m有正整數(shù)解,
所以等比數(shù)列{bn}的項都是等差數(shù)列{an}中的項,所以Sn=n2.
綜上所述,數(shù)列{cn}的前n項和Sn= ,或Sn=n2.
(3)解:存在等差數(shù)列{an},只需首項a1∈(1,q),公差d=q﹣1…
下證bn與bn+1之間數(shù)列{an}的項數(shù)為bn.即證對任意正整數(shù)n,都有 ,
即 成立.
由bn﹣ =qn﹣1﹣a1﹣(1+q+…+qn﹣2)(q﹣1)=1﹣a1<0,
bn+1﹣ =qn﹣a1﹣(1+q+…+qn﹣1﹣1)(q﹣1)=q﹣a1>0..
所以首項a1∈(1,q),公差d=q﹣1的等差數(shù)列{an}符合題意
【解析】(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,由題意得, ,解得d=0或3,因數(shù)列{an},{bn}單調遞增,d>0,q>1,可得an=3n﹣2,bn=2n﹣1 , 利用通項公式即可得出.(2)設等差數(shù)列{cn}的公差為d,又a1 , 且bn=3n , 所以c1=1,所以cn=dn+1﹣d.因為b1=3是{cn}中的項,所以設b1=cn , 即d(n﹣1)=2.當n≥4時,解得d= <1,不滿足各項為正整數(shù)當b1=c3=3時,當b1=c2=3時,即可得出.(3)存在等差數(shù)列{an},只需首項a1∈(1,q),公差d=q﹣1.下證bn與bn+1之間數(shù)列{an}的項數(shù)為bn . 即證對任意正整數(shù)n,都有 ,作差利用通項公式即可得出.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數(shù)列的通項公式的相關知識,掌握如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由;
(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù),并將完成生產(chǎn)任務所需時間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:
超過 | 不超過 | |
第一種生產(chǎn)方式 | ||
第二種生產(chǎn)方式 |
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?
附:,
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩組各有三名同學,他們在一次測試中的成績分別為:甲組:88、89、90;乙組:87、88、92.如果分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學,則這兩名同學的成績之差的絕對值不超過3的概率是 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分10分)選修4—4,坐標系與參數(shù)方程
已知曲線,直線:(為參數(shù)).
(I)寫出曲線的參數(shù)方程,直線的普通方程;
(II)過曲線上任意一點作與夾角為的直線,交于點,的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在某互聯(lián)網(wǎng)大會上,為了提升安全級別,將5名特警分配到3個重要路口執(zhí)勤,每個人只能選擇一個路口,每個路口最少1人,最多3人,且甲和乙不能安排在同一個路口,則不同的安排方法有( )
A. 180種 B. 150種 C. 96種 D. 114種
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2018年俄羅斯世界杯激戰(zhàn)正酣,某校工會對全校教職工在世界杯期間每天收看比賽的時間作了一次調查,得到如下頻數(shù)分布表:
收看時間 (單位:小時) | ||||||
14 | 28 | 20 | 12 |
(1)若將每天收看比賽轉播時間不低于3小時的教職工定義為“球迷”,否則定義為“非球迷”,請根據(jù)頻數(shù)分布表補全列聯(lián)表:
男 | 女 | 合計 | |
球迷 | 40 | ||
非球迷 | |||
合計 |
并判斷能否有90%的把握認為該校教職工是否為“球迷”與“性別”有關;
(2)在全校“球迷”中按性別分層抽樣抽取6名,再從這6名“球迷”中選取2名世界杯知識講座.記其中女職工的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
.
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【題目】已知二次函數(shù),則下列說法不正確的是( )
A.其圖象開口向上,且始終與軸有兩個不同的交點
B.無論取何實數(shù),其圖象始終過定點
C.其圖象對稱軸的位置沒有確定,但其形狀不會因的取值不同而改變
D.函數(shù)的最小值大于
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某群體的人均通勤時間,是指單日內該群體中成員從居住地到工作地的平均用時.某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示:當中()的成員自駕時,自駕群體的人均通勤時間為(單位:分鐘),而公交群體的人均通勤時間不受影響,恒為分鐘,試根據(jù)上述分析結果回答下列問題:
(1)當在什么范圍內時,公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間?
(2)求該地上班族的人均通勤時間的表達式;討論的單調性,并說明其實際意義.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,側面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,E為PC中點,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2.
(1)求證:BE∥平面PAD;
(2)求證:BC⊥平面PBD;
(3)在線段PC上是否存在一點Q,使得二面角Q﹣BD﹣P為45°?若存在,求 的值;若不存在,請述明理由.
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