Question

甲、乙兩人在罰球線互不影響地投球，命中的概率分別為與，投中得1分，投不中得0分．
（1）甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求兩人得分之和ξ的數(shù)學期望；
（2）甲、乙兩人在罰球線各投球二次，求甲恰好比乙多得分的概率．

Answer 1

解：（1）記“甲投一次命中”為事件A，“乙投一次命中”為事件B，則A與B相互獨立，
且P（A）=，P（B）=，P（）=，P（）=．…（1分）
甲、乙兩人得分之和ξ的可能取值為0、1、2，…（2分）
P（ξ=0）=P（）=P（）P（）==，
P（ξ=1）=P（+）=P（）P（B）+P（A）P（）==
P（ξ=2）=P（AB）=P（A）P（B）==…（4分）
則ξ概率分布列為：

ξ	0	1	2
P

…（5分）
Eξ==…（6分）
答：每人在罰球線各投球一次，兩人得分之和ξ的數(shù)學期望為．…（7分）
（2）設甲恰好比乙多得分為事件C，甲得分且乙得0分為事件C₁，甲得2分且乙得分為事為C₂，則C=C₁+C₂，且C₁與C₂為互斥事件．…（8分）
P（C）=P（C₁）+P（C₂）=×+=…（11分）
答：甲、乙兩人在罰球線各投球二次，甲恰好比乙多得分的概率為．…（12分）
分析：（1）記“甲、乙投一次命中”分別為事件A、B，且A與B相互獨立，ξ的可能取值為0、1、2，分別可求其概率，可得分布列，代入可得期望值；
（2）設甲恰好比乙多得分為事件C，甲得分且乙得0分為事件C₁，甲得2分且乙得分為事為C₂，則C=C₁+C₂，且C₁與C₂為互斥事件．故P（C）=P（C₁）+P（C₂），求解即可．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列與期望方差，屬中檔題．