Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+a），g（x）=x²+x，若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在x=0處取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若關(guān)于x的方程F(x)+

5

2

x-m=0在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln(

n+1

n

)＜

n+1

n2

都成立．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意知，x=0是F′（x）的根，列出關(guān)于a的方程，求解即可求得實(shí)數(shù)a的值；
（2）方程F(x)+

5

2

x-m=0在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即確定函數(shù)y=F(x)+

5

2

x-m在[0，2]上的極值，再用極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù)限定函數(shù)在[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，列出不等式組，求解即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）確定F（x）的定義域，利用導(dǎo)數(shù)判斷出F（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，求出函數(shù)F（x）的最大值為F（0），從而確定F（x）≤F（0），即可得到不等式ln（x+1）≤x²⁺x，令x=

1

n

，化簡即可證明出所要證明的結(jié)論．

解答：解：（1）由題意知，F(xiàn)（x）=ln（x+a）-x²-x，則F′(x)=

1

x+a

-2x-1，
∵x=0時(shí)，F(xiàn)（x）取得極值，
∴F'（0）=0，
∴

1

0-a

-2×0-1=0，解得a=1，
經(jīng)檢驗(yàn)a=1符合題意，
∴實(shí)數(shù)a的值為1．
（2）∵a=1，則F（x）=ln（x+1）-x²-x，
∵F(x)+

5

2

x-m=0，
∴ln(x+1)-x2+

3

2

x-m=0，
令h(x)=ln(x+1)-x2+

3

2

x-m，
則F(x)+

5

2

x-m=0在[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于h（x）=0在[0，2]恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∵h′(x)=

1

x+1

-2x+

3

2

=-

(4x+5)(x-1)

2(x+1)

，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h'（x）＞0，于是h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，h'（x）＜0，于是h（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，
則根據(jù)題意，有

h(0)=-b≤0 h(1)=ln(1+1)-1+ 3 2 -b＞0 h(2)=ln(1+2)-4+3-b≤0

，即

m≥0 m＜ 1 2 +ln2 m≥-1+ln3

，
∴-1+ln3≤m＜

1

2

+ln2，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為-1+ln3≤m＜

1

2

+ln2．
（3）∵F（x）=ln（x+1）-x²-x，
∴F（x）的定義域?yàn)閧x|x＞-1}，
∵F′(x)=

-x(2x+3)

x+1

，
∴令F'（x）=0得，x=0，或x=-

3

2

（舍去），
∴當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，
∴F（0）為F（x）在（-1，+∞）上的最大值，
∴F（x）≤F（0），即n（x+1）-x²-x≤0（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立），
取x=

1

n

＞0，n為任意正整數(shù)，
∴ln(

1

n

+1)＜

1

n2

+

1

n

，化簡整理可得，ln(

n+1

n

)＜

n+1

n2

，
∴對任意的正整數(shù)n，不等式ln(

n+1

n

)＜

n+1

n2

都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在最大值和最小值中的應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及用導(dǎo)數(shù)解決方程根的分布的問題，同時(shí)考查了利用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式，是一道綜合題，有一定的難度．屬于難題．