Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

a

3

x3-

1

2

x2-(a+1)x-a-1，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）已知函數(shù)g（x）=f（x）-f′（x）是奇函數(shù)，直線l₁是曲線f（x）的切線，且l₁⊥l₂，l₂：x-2y-8=0，求直線l₁的方程；
（2）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)g（x）=f（x）-f′（x）是奇函數(shù)可求出a的值，然后根據(jù)l₁⊥l₂可求出l₁的斜率，從而可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線方程；
（2）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，本題需討論a與-

1

2

和0的大小關(guān)系．

解答：解：（1）∵f(x)=

a

3

x3-

1

2

x2-(a+1)x-a-1，
∴f′（x）=ax²-x-（a+1）
則g（x）=f（x）-f′（x）=

a

3

x3-

1

2

x2-(a+1)x-a-1-ax²+x+（a+1）=

a

3

x3-(

1

2

+a)x2-ax
∵函數(shù)g（x）=f（x）-f′（x）是奇函數(shù)
∴

1

2

+a=0即a=-

1

2

則f′（x）=-

1

2

x²-x-

1

2

∵l₁⊥l₂，l₂：x-2y-8=0
∴l(xiāng)₁的斜率為-2，即f′（x）=-

1

2

x²-x-

1

2

=-2解得x=1或-3
即切點(diǎn)為（1，-

5

3

）或（-3，1）
∴直線l₁的方程為6x+3y-1=0或2x+y+5=0
（2）f′（x）=ax²-x-（a+1）=（ax-a-1）（x+1）
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=-x-1，當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，+∞）
當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（-1，1+

1

a

）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1+

1

a

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（1+

1

a

，+∞）單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1+

1

a

）
當(dāng)-

1

2

＜a＜0時(shí)，當(dāng)x∈（-∞，1+

1

a

）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1+

1

a

，-1）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1+

1

a

，-1）單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1+

1

a

），（-1，+∞）
當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，f′（x）≤0恒成立，即函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，+∞）
當(dāng)a＜-

1

2

時(shí)，當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（-1，1+

1

a

）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（1+

1

a

，+∞）時(shí)，f′（x）＜0
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，1+

1

a

）單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（1+

1

a

，+∞）

點(diǎn)評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，以及函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．