Question

已知數(shù)列a₁，a₂，…，a₃₀，其中a₁，a₂，…，a₁₀是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；a₁₀，a₁₁，…，a₂₀是公差為d的等差數(shù)列；a₂₀，a₂₁，…，a₃₀是公差為d²的等差數(shù)列（d≠0）．
（1）若a₂₀=40，求d；
（2）試寫出a₃₀關(guān)于d的關(guān)系式，并求a₃₀的取值范圍；
（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得a₃₀，a₃₁，…，a₄₀是公差為d³的等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）由題意可得a₁₀，根據(jù)a₂₀的值，可得d的值；（2）由a₂₀，a₂₁，…a₃₀，是公差為d²的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)表示出a₃₀是關(guān)于d的二次函數(shù)，根據(jù)d不等于0，利用二次函數(shù)即可求出a₃₀的取值范圍；（3）根據(jù)題意歸納出：當(dāng)n=3時(shí)，a₃₀，a₃₁，…，a₄₀是公差為d³的等差數(shù)列．

解答：解：（1）由題意可得a₁₀=1+9=10，a₂₀=10+10d=40，∴d=3．
（2）a₃₀=a₂₀+10d²=10（1+d+d²）（d≠0），
a₃₀=10[(d+

1

2

)2+

3

4

]，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：
當(dāng)d∈（-∞，0）∪（0，+∞）時(shí)，a₃₀∈[7.5，+∞）
（3）所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列{a_n]，
其中a₁，a₂，…，a₁₀是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
當(dāng)n≥1時(shí)，數(shù)列a_10n，a_10n+1，…，a_10（n+1）是公差為dⁿ的等差數(shù)列．
當(dāng)n=3時(shí)，可得a₃₀，a₃₁，…，a₄₀是公差為d³的等差數(shù)列．

點(diǎn)評：本題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決實(shí)際問題，會根據(jù)特例總結(jié)歸納出一般性的規(guī)律，屬中檔題．