Question

已知函數f（x）=ax+lnx，其中a為常數，設e為自然對數的底數.
(Ⅰ) 當a=-1時，求f（x）的最大值；
(Ⅱ) 若f（x）在區(qū)間（0，e］上的最大值為-3，求a的值；
（Ⅲ）  當a=-1 時，試推斷方是否有實數解.

Answer 1

解：(1) 當a=-1時，f（x）=-x+lnx，
f′(x)′=
當0<x<1時，f′(x)>0；
當x>1時，f′(x)<0.
∴f（x）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數
f（x_）max=f（1）=-1
(2) ∵f′(x)′=a+，x∈(0,e］，
① 若a≥-，則f′′(x)≥0，從而f(x)在(0,e］上增函數
∴f（x_）max=f（e）=ae+1≥0.不合題意
② 若，則由f′(x)′>0，
即0<x<
由f(x)<0，即<x≤e.
從而f(x)在上增函數,在為減函數
∴
令-1+ln，則ln=-2
∴，即a=.
∵
∴a=-e²
(3) 由（1）知當a=-1時f（x）_max=f（1）=-1，∴|f（x）|≥1
又令，
令g′(x)=0，得x=e,
當0<x<e時，g′(x)>0,g(x)  在(0,e)單調遞增；
當x>e時,g′(x)<0，g(x) 在(e,+∞)單調遞減
∴
∴g(x)<1
∴|f（x）|>g(x),即|f(x)|>
∴方程|f（x）|=沒有實數解.