已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過如下五個點中的三個點：P1(-1，-
2
2
)，P2（0，1），P3(
1
2
，
2
2
)，P4(1，
2
2
)，P5（1，1）．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設點A為橢圓M的左頂點，B，C為橢圓M上不同于點A的兩點，若原點在△ABC的外部，且△ABC為直角三角形，求△ABC面積的最大值．
（Ⅰ）由
(
1
2
)2
a2
+
(
2
2
)2
b2
＜
(-1)2
a2
+
(-
2
2
)2
b2
=
12
a2
+
(
2
2
)2
b2
＜
12
a2
+
12
b2
，知P3(
1
2
，
2
2
)和P5（1，1）不在橢圓M上，即橢圓M經(jīng)過P1(-1，-
2
2
)，P2（0，1），P4(1，
2
2
)．
于是a2=2，b2=1．
所以橢圓M的方程為：
x2
2
+y2=1．…（2分）
（Ⅱ）①當∠A=90°時，設直線BC：x=ty+m，
由
x2+2y2=2
x=ty+m
得（t2+2）y2+2tmy+（m2-2）=0．
設B（x1，y1），C（x2，y2），則△=16-8m2+8t2＞0，
y1+y2=-
2tm
t2+2
y1y2=
m2-2
t2+2

所以kABkAC=
y1
x1+
2
•
y2
x2+
2
=
y1y2
(ty1+m+
2
)(ty2+m+
2
)

=
y1y2
t2y1y2+t(m+
2
)(y1+y2)+(m+
2
)2
=
m-
2
2(m+
2
)
=-1．
于是m=-
2
3
，此時△=16-
16
9
+8t2＞0，
所以直線BC：x=ty-
2
3
．
因為y1y2=-
16
9
t2+2
＜0，故線段BC與x軸相交于M(-
2
3
，0)，
即原點在線段AM的延長線上，即原點在△ABC的外部，符合題設．…（6分）
所以S△ABC=
1
2
|AM|•|y1-y2|=
2
3
|y1-y2|=
2
9
[(y1+y2)2-4y1y2]
=
2
9
[(
2
3
2
t
t2+2
)2-4(-
16
9
t2+2
)]

=
16
81
×
9t2+16
(t2+2)2
=
16
81
(4-
4t4+7t2
t4+4t2+4
)
≤
8
9
．
當t=0時取到最大值
8
9
．…（9分）
②當∠A≠90°時，不妨設∠B=90°．
設直線AB：x=ty-
2
(t≠0)，由
x2+2y2=2
x=ty-
2
得(t2+2)y2-2
2
ty=0．
所以y=0或y=
2
2
t
t2+2
．
所以B(
2
t2-2
2
t2+2
，
2
2
t
t2+2
)，由AB⊥BC，可得直線BC：y=-tx+
2
t3
t2+2
．
由
x2+2y2=2
y=-tx+
2
t3
t2+2
得(t2+2)(2t2+1)y2-2
				
							
			

			

			
			

		
	

		

		





			
		
		
				

				練習冊系列答案
		

		
				
			

					

				相關習題
			

						
		

			

				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			


						
設橢圓方程為x2+
y2
4
=1，過點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)，點N的坐標為(
1
2
，
1
2
)，當l繞點M旋轉時，求：
（1）動點P的軌跡方程；
（2）|
NP
|的最小值與最大值．


			


			

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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			


						
已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1，過橢圓的右焦點F的直線l與橢圓交于點A、B，定直線x=4交x軸于點K，直線KA和直線KB的斜率分別是k1、k2．
（1）若直線l的傾斜角是45°，求線段AB的長；
（2）求證：k1+k2=0．


			


			

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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			


						
矩形ABCD的中心在坐標原點，邊AB與x軸平行，AB=8，BC=6．E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點，R，S，T是線段OF的四等分點，R′，S′，T′是線段CF的四等分點．設直線ER與GR′，ES與GS′，ET與GT′的交點依次為L，M，N．
（1）求以HF為長軸，以EG為短軸的橢圓Q的方程；
（2）根據(jù)條件可判定點L，M，N都在（1）中的橢圓Q上，請以點L為例，給出證明（即證明點L在橢圓Q上）．
（3）設線段OF的n（n∈N+，n≥2）等分點從左向右依次為Ri（i=1，2，…，n-1），線段CF的n等分點從上向下依次為Ti（i=1，2，…，n-1），那么直線ERi（i=1，2，…，n-1）與哪條直線的交點一定在橢圓Q上？（寫出結果即可，此問不要求證明）


			


			

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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			


						
如圖，梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點O為AB的中點，|AB|=
4
2
3
，|CD|=2-
4
2
3
，AC⊥BD．M為CD的中點．
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）過M作AB的垂線，垂足為N，若存在正常數(shù)λ0，使
MP
=λ0
PN
，且P點到A、B的距離和為定值，求點P的軌跡E的方程；
（Ⅲ）過（0，
1
2
）的直線與軌跡E交于P、Q兩點，求△OPQ面積的最大值．


			


			

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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			


						
已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），左、右兩個焦點分別為F1、F2，上頂點M（0，b），△MF1F2為正三角形且周長為6，直線l：x=my+4與橢圓C相交于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求
OA
•
OB
的取值范圍．


			


			

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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			


						
已知雙曲線C的中心在原點，拋物線y2=2
5
x的焦點是雙曲線C的一個焦點，且雙曲線經(jīng)過點(1，
3
)，又知直線l：y=kx+1與雙曲線C相交于A、B兩點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若
OA
⊥
OB
，求實數(shù)k值．


			


			

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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			


						
設雙曲線C的焦點在y軸上，離心率為
2
，其一個頂點的坐標是（0，1）．
（Ⅰ）求雙曲線C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l與該雙曲線交于A、B兩點，且A、B的中點為（2，3），求直線l的方程．


			


			

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				科目：高中數(shù)學
				來源：不詳
				題型：解答題
			


						
設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點為F，上頂點為A，過點A與AF垂直的直線分別交橢圓C與x軸正半軸于點P、Q，且
AP
=
8
5
PQ
．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過A、Q、F三點的圓恰好與直線l：x+
3
y+3=0相切，求橢圓C的方程．


			


			

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同步練習冊答案





























			





	







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