如圖，在四棱柱ABCD-PGFE中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA=1，
(Ⅰ)求PC與AB所成角的余弦值；
(Ⅱ)求證：BC⊥平面PAC；
(Ⅲ)求二面角E-AC-B的正弦值。
(Ⅰ)∵AB∥DC，
∴∠PCD就是PC與AB所成角，
在直角梯形ABCD中，過C作CS⊥AB于點S，
則四邊形ADCS為矩形，
∴AS=DC=1，
又AB=2，∴BS=1，
在Rt△BSC中，∠ABC=45°，
∴CS=BS=1，
∴AD=CS=1，
∵PA⊥平面ABCD，AD，AC平面ABCD，
∴PA⊥AD，PA⊥AC，
∴，
，
∴，
∴PC2=PD2+CD2CD⊥PD，，
所以PC與AB所成角的余弦值為；
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知：AC2+BC2=AB2，
∴BC⊥AC，
又∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC.
 (Ⅲ)連接EA，EC，則EA=EC=，
連接DS交AC于O，連接EO，ES，SO，
因為O是AC中點，
所以EO⊥AC，SO⊥AC，
所以∠SOE就是二面角E-AC-B的平面角，
故。
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點，AA1=AB=2，四棱錐B-AA1C1D的體積為3．
（1）求證：AB1∥平面BC1D；
（2）求直線A1C1與平面BDC1所成角的正弦值；
（3）求二面角C-BC1-D的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱柱ABC-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA1=4，AB=2，點E在棱CC1上，點E是棱C1C上一點．
（1）求證：無論E在任何位置，都有A1E⊥BD
（2）試確定點E的位置，使得A1-BD-E為直二面角，并說明理由．
（3）當E為CC1中點時，求四面體A1-BDE的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四棱柱ABC-A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA1=4，AB=2，點E在棱CC1上，點E是棱C1C上一點．
（1）求證：無論E在任何位置，都有A1E⊥BD
（2）試確定點E的位置，使得A1-BD-E為直二面角，并說明理由．
（3）試確定點E的位置，使得四面體A1-BDE體積最大．并求出體積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：四川省仁壽一中2012屆高三12月月考數(shù)學理科試題 題型：044

如圖，在四棱柱ABC－A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AA1＝4，AB＝2，點E在棱CC1上，點F是棱C1D1的中點．

(1)若點E是棱CC1的中點，求證：EF∥平面A1BD；

(2)試確定點E的位置，使得A1－BD－E為直二面角，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：四川省仁壽一中2012屆高三12月月考數(shù)學文科試題 題型：044

如圖，在四棱柱ABC－A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，AA1＝4，AB＝2，點E在棱CC1上，點F是棱C1D1的中點．

(1)若點E是棱CC1的中點，求證：EF∥平面A1BD；

(2)試確定點E的位置，使得A1－BD－E為直二面角，并說明理由．

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