Question

【題目】已知函數f（x）=x3+（1﹣a） x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（1）若函數f（x）的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是﹣3，求a，b的值；
（2）若函數f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上不單調，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）

又 ，

解得b=0，a=﹣3或a=1

（2）解：函數f（x）在區(qū)間（﹣1，1）不單調，等價于導函數f′（x）[是二次函數]，在（﹣1，1有實數根但無重根．

∵f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）=（x﹣a）[3x+（a+2）]，

令f′（x）=0得兩根分別為x=a與x=

若a= 即a=﹣ 時，此時導數恒大于等于0，不符合題意，

當兩者不相等時即a≠﹣ 時

有a∈（﹣1，1）或者 ∈（﹣1，1）

解得a∈（﹣5，1）且a≠﹣

綜上得參數a的取值范圍是（﹣5，﹣ ）∪（﹣ ，1）

【解析】（1）先求導數：f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2），再利用導數求出在x=0處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．列出關于a，b等式解之，從而問題解決．（2）根據題中條件：“函數f（x）在區(qū)間（﹣1，1）不單調，”等價于“導函數f′（x）在（﹣1，1）既能取到大于0的實數，又能取到小于0的實數”，由于導函數是一個二次函數，有兩個根，故問題可以轉化為到少有一根在區(qū)間（﹣1，1）內，先求兩根，再由以上關系得到參數的不等式，解出兩個不等式的解集，求其并集即可；
【考點精析】利用導數的幾何意義和利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減．