Question

已知向量

a

=(sinx，

3

2

)，

b

=(cosx，-1)，函數(shù)f(x)=(

a

+

b

)•

b

，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期，最大值和最小值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積公式和三角恒等變換公式，化簡得f(x)=(

a

+

b

)•

b

=

2

2

sin（2x+

π

4

）．再利用三角函數(shù)的周期與最值的公式，即可算出f（x）的最小正周期，最大值和最小值；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式解關(guān)于x的不等式，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）∵

a

=(sinx，

3

2

)，

b

=(cosx，-1)，
∴f(x)=(

a

+

b

)•

b

=cosx（sinx+cosx）+

1

2

×(-1)
=

1

2

sin2x+

1

2

（1+cos2x）-

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）．
因此，f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，最大值為

2

2

，最小值為-

2

2

；
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
得-

3π

8

+

1

2

kπ≤x≤

π

8

+

1

2

kπ（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

3π

8

+

1

2

kπ，

π

8

+

1

2

kπ]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出向量

a

、

b

含有三角函數(shù)式的坐標(biāo)，求f(x)=(

a

+

b

)•

b

的周期、最值與單調(diào)區(qū)間．著重考查了向量數(shù)量積公式、三角恒等變換公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．