Question

（理科）如圖所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為a的正方體，M是棱A₁B₁的中點(diǎn)，N是棱A₁D₁的中點(diǎn)．
（1）求直線AN與平面BB₁D₁D所成角的大��；
（2）求B₁到平面ANC的距離．

Answer 1

分析：（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BB₁D₁D的一個(gè)法量，利用

AN

和此法向量夾角求解．向量知識(shí)求解．
（2）求出平面ANC的一個(gè)方法向量，B₁到平面ANC的距離等于

B1C

在此法向量方向上投影的絕對(duì)值．利用向量知識(shí)求解．

解答：解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系．

則A（a，0，0），N（

a

2

，0，a），C（0，a，0），B₁ （a，a，a）
 

AN

=（-

a

2

，0，a），
（1）易知平面BB₁D₁D的一個(gè)法量

AC

=（-a，a，0）----2分

AN

=(-

a

2

，0，a)，----------------------------------2分
設(shè)直線AN與平面BB₁D₁D所成角為θ
cosφ=

n • AN

| n || AN |

=

10

10

------------------------------1分
sinθ=cosφ=

10

10

，θ=arcsin

10

10

直線AN與平面BB₁D₁D所成角為arcsin

10

10

-------1分
（2）設(shè)平面ANC的一個(gè)方法向量

n2

=(u，v，w)

n2 • AC =0 n2 • AN =0

⇒

v=u w= 1 2 u

，
取u=2，

n2

=(2，2，1)-----3分
所以d=

| B1C • n2 |

| n2 |

=

3a

3

-----------------------------2分
=a----------------------------------------2分

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直角和平面所成就的計(jì)算，點(diǎn)面距離求解，考查空間想象能力、計(jì)算能力．