Question

過拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若直線l被拋物線C截得的弦以M（1，1）為中點(diǎn)，求直線l的方程．
（2）若|AF|=3，求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）分別設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求出AB所在直線的斜率，由點(diǎn)斜式寫出直線方程；
（2）由焦半徑公式求出A點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式求出直線AF的方程，和拋物線聯(lián)立求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入面積公式求解△AOB的面積．

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵M(jìn)（1，1）為AB中點(diǎn)，∴x₁+x₂=2
又∵A，B在拋物線y²=4x上，
∴y12=4x1，y22=4x2．
兩式相減得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=4（x₁-x₂）．
∴

y1-y2

x1-x2

=

4

x1+x2

=

4

2

=2．
∴k_AB=2，則直線l的方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；
（2）由|AF|=3，得x₁+1=3，∴x₁=2，
不妨設(shè)A在第一象限，則y1=2

2

．
∴AF所在直線方程為

y-0

2 2 -0

=

x-1

2-1

，整理得：y=2

2

x-2

2

．
代入y²=4x得：x2=

1

2

，y2=-

2

．
∴S△AOB=

1

2

×1×|y2-y1|=

1

2

×|-

2

-2

2

|=

3 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的一般式方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了“點(diǎn)差法”求直線的斜率，涉及中點(diǎn)弦問題，利用點(diǎn)差法能起到事半功倍的效果，（2）中求三角形的面積采用了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，把△AOB的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)小三角形面積的和，此題是中高檔題．