Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的焦點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，PF₁⊥OX軸，且OP和橢圓的一條長(zhǎng)軸頂點(diǎn)A和短軸頂點(diǎn)B的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率e
（2）若Q是橢圓上任意一點(diǎn)，證明∠F₁QF₂≤

π

2

（3）過(guò)F₁與OP垂直的直線交橢圓于M，N，若△MF₂N的面積為20

3

，求橢圓方程．

Answer 1

（1）易得 P(-c，

b2

a

)，kOP=

b2

-ac

，kAB=-

b

a

，
∴-

b2

ac

=-

b

a

⇒b=c⇒a=

2

c，
∴e=

c

a

=

2

2

．
（2）證明：由橢圓定義得：|F₁Q|+|F₂Q|=2a，
所以cos∠F1QF2=

|F1Q|2+|F2Q|2-|F1F2|2

2|F1Q||F2Q|

=

4a2-4c2-2|F1Q||F2Q|

2|F1Q||F2Q|

=

2b2

|F1Q||F2Q|

-1，
因?yàn)?span >|F1Q||F2Q|≤(

|F1Q|+|F2Q|

2

)2=a2，
∴cos∠F1QF2≥

2b2

a2

-1=

2c2

2c2

-1=0，
∴∠F1QF2≤

π

2

．
（3）設(shè)直線MN的方程為 y=

a

b

（x+c），即y=

2

(x+c)．
代入橢圓方程消去x得：

(1- 1 2 y+c)2

a2

+

y2

b2

=1，
整理得：5y2-2

2

cy-2c2=0，
∴y1+y2=

2 2 c

5

，y1•y2=-

2c2

5

．
∴(y1-y2)2=(

2 2 c

5

)2+

8c2

5

=

48c2

25

．
因?yàn)?span >S△PF2Q=

1

2

•2c•|y1-y2|=

4 3 c2

5

=20

3

，
所以c²=25
因此a²=50，b²=25，
所以橢圓方程為

x2

50

+

y2

25

=1．