已知函數(shù)f(x)=lnx-ax.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值,
(Ⅱ)已知過點P(1,f(1)),Q(e,f(e))的直線為l,則必存在x∈(1,e),使曲線y=f(x)在點(x,f(x))處的切線與直線l平行,求x的值,
(Ⅲ)已知函數(shù)g(x)圖象在[0,1]上連續(xù)不斷,且函數(shù)g(x)的導函數(shù)g'(x)在區(qū)間(0,1)內單調遞減,若g(1)=0,試用上述結論證明:對于任意x∈(0,1),恒有g(x)>g(0)(1-x)成立.
【答案】分析:(I)由題意先對函數(shù)f(x)=lnx-ax求其導函數(shù),并利用導函數(shù)分析單調性并求其極值;
(II)利用已知直線上兩點寫出其斜率的式子,再利用導數(shù)的幾何含義寫出直線的斜率,進而建立方程求解即可;
(III)利用(II)的結論實質,依照題意即可求證結論.
解答:解:(Ⅰ)f'(x)=(x>0)
①若a≤0,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調遞增,此時f(x)不存在極值.
②若a>0令f'(x)=0得x=
當x∈時,f(x)>0,此時函數(shù)f(x)在此區(qū)間上單調遞增;
當x∈時,f(x)<0,此時函數(shù)f(x)在此區(qū)間上單調遞減;
∴f(x)極大值=
綜上:當a≤0時,f(x)沒有極大值,當a>0時,f(x)極大值=-lna-1.
(Ⅱ)直線l的斜率k=,
∵x∈(1,e),
依題意有f'(x)=-a+
得x=e-1∈(1,e),
故x=e-1
(Ⅲ)①f'(x)=
由以上結論得:對區(qū)間[0,x]存在x1∈[0,x]使g'(x1)=
同樣對區(qū)間[x,1]存在x2∈[x,1]使g'(x2)=
依題意得:g'(x1)>g'(x2)即
化簡得g(x)>g(0)(1-x)成立.
點評:(I)此問重點考查了利用函數(shù)的導函數(shù)求解極值,并在判斷函數(shù)單調性時考查了解不等式時的分類討論的思想;
(II)此問重點考查了直線的斜率公式及利用導數(shù)的幾何意義,進而建立斜率的方程;
(III))此問重點考查了對于(II)的結論的理解與應用.
練習冊系列答案
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x1+x2
2
時,又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當x≥e時,對于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結論.

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1
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3
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a
+
3
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(2)已知當x>0時,函數(shù)在(0,
6
)上單調遞減,在(
6
,+∞)上單調遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
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