Question

17．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，CC₁⊥底面ABC，AC⊥CB，點D是AB的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求證：AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）設AB=2AA₁，AC=BC，在線段A₁B₁上是否存在點M，使得BM⊥CB₁？若存在，確定點M的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）先證明CC₁⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC₁=C，可證AC⊥平面BCC₁B₁，從而可證AC⊥BC₁．
（Ⅱ）設CB₁與C₁B的交點為E，連結DE，可證DE∥AC₁．即可判定AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）可證AA₁⊥CD，CD⊥AB，從而證明CD⊥平面AA₁B₁B，取線段A₁B₁的中點M，連接BM．可證CD⊥BM，BM⊥B₁D，即可證明BM⊥平面B₁CD，從而得證BM⊥CB₁．

解答 （本小題滿分14分）
證明：（I）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，因為CC₁⊥底面ABC，AC?底面ABC，
所以CC₁⊥AC．
又AC⊥BC，BC∩CC₁=C，
所以AC⊥平面BCC₁B₁．
而BC₁?平面BCC₁B₁，
則AC⊥BC₁．…（4分）
（Ⅱ）設CB₁與C₁B的交點為E，連結DE，
因為D是AB的中點，E是BC₁的中點，
所以DE∥AC₁．
因為DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
所以AC₁∥平面CDB₁．…（9分）
（Ⅲ）在線段A₁B₁上存在點M，使得BM⊥CB₁，且M為線段A₁B₁的中點．
證明如下：因為AA₁⊥底面ABC，CD?底面ABC，
所以AA₁⊥CD．                            
由已知AC=BC，D為線段AB的中點，
所以CD⊥AB．
又AA₁∩AB=A，
所以CD⊥平面AA₁B₁B．
取線段A₁B₁的中點M，連接BM．
因為BM?平面AA₁B₁B，所以CD⊥BM．
由已知AB=2AA₁，由平面幾何知識可得BM⊥B₁D．
又CD∩B₁D=D，所以BM⊥平面B₁CD．
又B₁C?平面B₁CD，
所以BM⊥CB₁．…（14分）

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定和性質，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．