Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n=kn²+n，n∈N*，其中k是常數(shù)．
（I）求a₁及a_n；
（II）若對(duì)于任意的m∈N*，a_m，a_2m，a_4m成等比數(shù)列，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先通過求a₁=S₁求得a₁，進(jìn)而根據(jù)當(dāng)n＞1時(shí)a_n=S_n-S_n-1求出a_n，再驗(yàn)證求a₁也符合此時(shí)的a_n，進(jìn)而得出a_n
（2）根據(jù)a_m，a_2m，a_4m成等比數(shù)列，可知a_2m²=a_ma_4m，根據(jù)（1）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，代入化簡(jiǎn)即可．
解答：解析：（1）當(dāng)n=1，a₁=S₁=k+1，
n≥2，a_n=S_n-S_n-1=kn²+n-[k（n-1）²+（n-1）]=2kn-k+1（*）．
經(jīng)檢驗(yàn)，n=1（*）式成立，
∴a_n=2kn-k+1．
（2）∵a_m，a_2m，a_4m成等比數(shù)列，
∴a_2m²=a_ma_4m，
即（4km-k+1）²=（2km-k+1）（8km-k+1），
整理得：mk（k-1）=0，對(duì)任意的m∈N^*成立，
∴k=0或k=1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列等比關(guān)系的確定和求數(shù)列通項(xiàng)公式的問題．當(dāng)分n=1和n＞1兩種情況求通項(xiàng)公式的時(shí)候，最后要驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，通項(xiàng)公式是否成立．