Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

，
（1）描述函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)并求此時f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性的定義，注意作差、變形、定符號和下結(jié)論，即可判斷；
（2）由函數(shù)的奇偶性的定義，即可得到a，再運(yùn)用變量分離，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域，即可得到所求值域．

解答： 解：（1）任取x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，即2x1-2x2＜0，又∵2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴不論a為何值，f（x）總為增函數(shù)；
（2）假設(shè)存在實數(shù)a，函數(shù)f(x)=a-

2

2x+1

是奇函數(shù)，
因為f（x）的定義域為R，所以f（0）=a-1=0，所以a=1．
此時f(x)=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

，則f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f(x)，
所以f（x）為奇函數(shù)．即存在實數(shù)a=1，使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
∵f(x)=1-

2

2x+1

，2x＞0，1+2x＞1，∴0＜

1

1+2x

＜1，-2＜-

2

1+2x

＜0，
∴f（x）的值域為：（-1，1）．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查函數(shù)的值域的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．