精英家教網(wǎng)如圖,A為橢圓
x2
a2
+
y2
b1
=1(a>b>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),弦AB、AC分別過(guò)焦點(diǎn)F1、F2,當(dāng)AC垂直于x軸時(shí),恰好有AF1:AF2=3:1.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)
AF1
1
F1B
,
AF2
2
F2C

①當(dāng)A點(diǎn)恰為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí),求λ12的值;
②當(dāng)A點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),試判斷是λ12否為定值?若是,請(qǐng)證明;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(Ⅰ)設(shè)|AF1|=m,則|AF2|=3m根據(jù)題設(shè)及橢圓定義得方程組聯(lián)立消去m求得a2=2c2,離心率可得.
(2)設(shè)A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),分別表示出
AF1
F 1
B
,根據(jù)
AF1
1
F1B
求得x1和y1的表達(dá)式代入x12+2y12=2c2中再與x02+2y02=2c2相減求得2x0=cλ1-3c同理根據(jù)
AF2
2
F2C
求得2x0=-cλ2+3c兩式相見(jiàn)即可求得λ12=6.說(shuō)明λ12為定值.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)|AF1|=m,則|AF2|=3m.
由題設(shè)及橢圓定義得
(3m)2-m2=4c2
3m+m=2a

消去m得a2=2c2,所以離心率
2
2

(Ⅱ)設(shè)A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),
AF1
=(-C-x0,-y0),
F 1
B
=(x1+C,y1
AF1
1
F1B
,∴x1=-
c+x0
λ1
-c,y1=-
y0
λ1

又x02+2y02=2c2①,x12+2y12=2c2②,
將x1,y1代入②得:
c+x0
λ1
+c)2+2(
y0
λ1
2=2c2即(c+x0+cλ12=2y20=2λ1c2③;
③-①得:2x0=cλ1-3c;
同理:由
AF2
2
F2C
.得2x0=-cλ2+3c;
∴cλ1-3c=-cλ2+3c,
∴λ12=6.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了橢圓的應(yīng)用.涉及了橢圓的基本性質(zhì)和利用向量的運(yùn)算解決橢圓與直線的關(guān)系的問(wèn)題,要求學(xué)生具有對(duì)知識(shí)的綜合、整合的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,A為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),弦AB、AC分別過(guò)焦點(diǎn)F1、F2,當(dāng)AC垂直于x軸時(shí),AF1=3AF2
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)
AF1
=λ1
F1B
 ,   
AF2
=λ2
F2C
,證明:當(dāng)A點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),λ12是定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,F(xiàn)為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),O為原點(diǎn),記△OFP的面積為S,且
OF
FP
=1

(1)設(shè)
1
2
<S<
3
2
,求向量
OF
FP
夾角的取值范圍.
(2)設(shè)|
OF
|=c
S=
3
4
c
,當(dāng)c≥2時(shí),求當(dāng)|
OP
|
取最小值時(shí)的橢圓方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,A為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),弦AB,AC分別過(guò)焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2.當(dāng)AC垂直于x軸時(shí),恰好|AF1|:|AF2|=3:1.
(1)求該橢圓的離心率;
(2)設(shè)
AF1
=λ1
F1B
AF2
=λ2
F2C
,試判斷λ12是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,A為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),弦AB,AC分別過(guò)焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2.當(dāng)AC垂直于x軸時(shí),恰好|AF1|:|AF2|=3:1.
(1)求該橢圓的離心率;
(2)設(shè)
AF1
=λ1
F1B
,
AF2
=λ2
F2C
,試判斷λ12是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案