Question

已知函數(shù)f（x）=x³+mx²+nx-2的圖象過(guò)點(diǎn)（-1，-6），且函數(shù)g（x）=f′（x）+6x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．
（Ⅰ）求m、n的值及函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a＞0，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a-1，a+1）內(nèi)的極值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用條件的到兩個(gè)關(guān)于m、n的方程，求出m、n的值，再找函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0對(duì)應(yīng)的區(qū)間即可．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，分情況討論區(qū)間（a-1，a+1）和單調(diào)區(qū)間的位置關(guān)系再得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）圖象過(guò)點(diǎn)（-1，-6），得m-n=-3，①
由f（x）=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n，
則g（x）=f′（x）+6x=3x²+（2m+6）x+n；
而g（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以-=0，所以m=-3，
代入①得n=0．
于是f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）．
由f′（x）＞得x＞2或x＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0），（2，+∞）；
由f′（x）＜0得0＜x＜2，
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=3x（x-2），
令f′（x）=0得x=0或x=2．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

由此可得：
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（a-1，a+1）內(nèi)有極大值f（O）=-2，無(wú)極小值；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（a-1，a+1）內(nèi)無(wú)極值；
當(dāng)1＜a＜3時(shí)，f（x）在（a-1，a+1）內(nèi)有極小值f（2）=-6，無(wú)極大值；
當(dāng)a≥3時(shí)，f（x）在（a-1，a+1）內(nèi)無(wú)極值．
綜上得：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）有極大值-2，無(wú)極小值，當(dāng)1＜a＜3時(shí)，f（x）有極小值-6，無(wú)極大值；當(dāng)a=1或a≥3時(shí)，f（x）無(wú)極值．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，以及分類(lèi)與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．