Question

設a是實數(shù)，f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)，
（1）試證明：對于任意a，f（x）在R為增函數(shù)；
（2）試確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）設x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，用作差法，有f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析可得f（x₁）-f（x₂）＜0，可得f（x）的單調(diào)性且與a的值無關；
（2）根據(jù)題意，假設f（x）是奇函數(shù)，由奇函數(shù)的定義可得，f（-x）=-f（x），即a-

2

2-x+1

=-（a-

2

2x+1

），對其變形，解可得a的值，即可得答案．

解答：解：（1）證明：設x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（a-

1

2x1+1

）-（a-

1

2x2+1

）=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
又由y=2^x在R上為增函數(shù)，則2x1＞0，2x2＞0，
由x₁＜x₂，可得2x1-2x2＜0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）為增函數(shù)，與a的值無關，

2

20+1

即對于任意a，f（x）在R為增函數(shù)；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，且其定義域為R，
必有有f（-x）=-f（x），
即a-

2

2-x+1

=-（a-

2

2x+1

），變形可得2a=

2(2x+1)

2x+1

=2，
解可得，a=1，
即當a=1時，f（x）為奇函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷與應用，注意（1）中要體現(xiàn)f（x）的單調(diào)性與a的值無關．