Question

【題目】【2017南京一模19】設函數，．

（1）當時，解關于的方程（其中為自然對數的底數）；

（2）求函數的單調增區(qū)間；

（3）當時，記函數，是否存在整數，使得關于的不等式

有解？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由．

（參考數據：，）

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解：（1）當時，方程即為，去分母，得

，解得或，

故所求方程的根為或.

（2）因為，

所以（），

①當時，由，解得；

②當時，由，解得；

③當時，由，解得；

④當時，由，解得；

⑤當時，由，解得.

綜上所述，當時，的增區(qū)間為；

當時，的增區(qū)間為；

時，的增區(qū)間為..

（3）方法一：當時，，，

所以單調遞增，，，

所以存在唯一，使得，即，.1

當時，，當時，，

所以，

記函數，則在上單調遞增，.1

所以，即，

由，且為整數，得，

所以不等式有解時的的最小整數為.

方法二：當時，，所以，

由得，當時，不等式有解，

下證：當時，恒成立，即證恒成立.

顯然當時，不等式恒成立，

只需證明當時，恒成立.

即證明.令，

所以，由，得，

當，；當，；

所以.

所以當時，恒成立.

綜上所述，不等式有解時的的最小整數為..1