Question

3．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）斜率為k的直線l經(jīng)過原點(diǎn)O，與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M，N，判斷并說明在橢圓E上是否存在點(diǎn)P，使得△PMN的面積為$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由題意求得a，c的值，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)及直線l的方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程求出|MN|，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出P到直線l的距離，設(shè)出過點(diǎn)P與直線l平行的直線l₁：y=kx+m．聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由判別式為0得到m與k的關(guān)系，
再由兩平行線間的距離公式求出兩平行線間的距離大于P到直線l的距離得答案．

解答 解：（1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{a=|BF|=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，得c=1，∴b²=a²-c²=1．
則橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）存在．
設(shè)點(diǎn)P（x，y），直線l的方程為y=kx．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，有${x}^{2}=\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，則|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{1+{k}^{2}}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$．
則點(diǎn)P到直線l的距離為$\frac{2×\frac{2\sqrt{2}}{3}}{|MN|}$=$\frac{2\sqrt{1+2{k}^{2}}}{3\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
設(shè)過點(diǎn)P與直線l平行的直線l₁：y=kx+m．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
由△=0，解得m=±$\sqrt{1+2{k}^{2}}$．
此時(shí)l與l₁ 的距離為$\frac{\sqrt{1+2{k}^{2}}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}＞\frac{2\sqrt{1+2{k}^{2}}}{3\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
則在橢圓E上存在點(diǎn)P，使得△PMN的面積為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，屬中檔題．