Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D為AB中點(diǎn)．

（1）求證：BC1∥平面A1CD；
（2）若四邊形BCC1B1是正方形，且A1D= ，求直線A1D與平面CBB1C1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連AC1，設(shè)AC1與A1C相交于點(diǎn)O，連DO，則O為AC1中點(diǎn)，

∵D為AB的中點(diǎn)，

∴DO∥BC1，

∵BC1平面A1CD，DO平面A1CD，

∴BC1∥平面A1CD

（2）解：∵底面△ABC是邊長(zhǎng)為2等邊三角形，D為AB的中點(diǎn)，

四邊形BCC1B1是正方形，且A1D= ，

∴CD⊥AB，CD= = ，AD=1，

∴AD2+AA12=A1D2，∴AA1⊥AB，

∵ ，∴ ，

∴CD⊥DA1，又DA1∩AB=D，

∴CD⊥平面ABB1A1，∵BB1平面ABB1A1，∴BB1⊥CD，

∵矩形BCC1B1，∴BB1⊥BC，

∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC，

∵底面△ABC是等邊三角形，

∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．

以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CC1為y軸，過(guò)C作平面CBB1C1的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

B（2，0，0），A（1，0， ），D（ ，0， ），A1（1，2， ），

=（ ，﹣2，﹣ ），平面CBB1C1的法向量 =（0，0，1），

設(shè)直線A1D與平面CBB1C1所成角為θ，

則sinθ= = = ．

∴直線A1D與平面CBB1C1所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）連AC1 ， 設(shè)AC1與A1C相交于點(diǎn)O，先利用中位線定理證明DO∥BC1 ， 再利用線面平行的判定定理證明結(jié)論即可．（2）推導(dǎo)出三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CC1為y軸，過(guò)C作平面CBB1C1的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線A1D與平面CBB1C1所成角的正弦值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行，以及對(duì)空間角異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．