Question

已知二次函數(shù)，及函數(shù)。

關(guān)于的不等式的解集為，其中為正常數(shù)。

（1）求的值；

（2）R如何取值時(shí)，函數(shù)存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；

（3）若，且，求證： 。

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）,

（3）可用數(shù)學(xué)歸納法證明

【解析】

試題分析：（1）解：∵關(guān)于的不等式的解集為，

即不等式的解集為，

∴.              

∴.

∴.

∴.                   

(2)解法1:由(1)得.

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∴.           

方程（*）的判別式

.                    

當(dāng)時(shí)， 對(duì)恒成立，方程（*）的兩個(gè)實(shí)根為

             

則時(shí)，；時(shí)，.

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴對(duì)任意實(shí)數(shù)k，函數(shù)都有極小值點(diǎn).             

解法2:由(1)得.

∴的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013080412133122501699/SYS201308041214067813610079_DA.files/image018.png">.

∴.             

若函數(shù)存在極值點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有兩個(gè)不等的零點(diǎn)，且至少有一個(gè)零點(diǎn)在上.              

令,

得, (*)

則,(**)             

方程（*）的兩個(gè)實(shí)根為, .

設(shè),

①若,則,得,此時(shí),取任意實(shí)數(shù), (**)成立.

則時(shí)，；時(shí)，.

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴函數(shù)有極小值點(diǎn).

②若,則得（不合舍去）

綜上所述, 當(dāng)時(shí)，取任何實(shí)數(shù), 函數(shù)有極小值點(diǎn)；       

(其中, )

(3)證法1：∵，∴.

∴ 

.                   

令，

則

.

∵，

∴       

        

.               

∴，即.          

證法2：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.

①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不等式成立；10分

②假設(shè)當(dāng)N時(shí)，不等式成立，即，

則

            

             

.

也就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，不等式也成立.               

由①②可得，對(duì)都成立.                   

考點(diǎn)：不等式導(dǎo)數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)與極值之間的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，以及利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式．