Question

（2005•海淀區(qū)二模）已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=a（a是常數(shù)且a≠-1），a_n=2a_n-1+1（n∈N，n≥2）．
（Ⅰ）{a_n}是否可能是等差數(shù)列．若可能，求出{a_n}的通項(xiàng)公式；若不可能，說(shuō)明理由；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n+c（n∈N，c是常數(shù)），若{b_n}是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)c的值，并求出{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)a_n=2a_n-1+1求出a₁、a₂、a₃，判斷aa₁+a₃是否等于2a₂從而得出{a_n}是否是等差數(shù)列；
（II）利用等比中項(xiàng)得出bb₁b₃=b² ，然后將值代入得出（a+1）（1-c）=0，從而求出a、c的值，即可求出公比q，從而求出通項(xiàng)公式．

解答：解：（I）∵a₁=a（a≠-1），a₂=2a+1，a₃=2a₂+1=2（2a+1）+1=4a+3，a₁+a₃=5a+3，2a₂=4a+2．
∵a≠-1，∴5a+3≠4a+2，即a₁+a₃≠2a₂，故{a_n}不是等差數(shù)列．
（II）由{b_n}是等比數(shù)列，得b₁b₃=b² ，即（a+c）（4a+3+c）=（2a+1+c）²，
化簡(jiǎn)得a-c-ac+1=0，即（a+1）（1-c）=0．
∵a≠-1，∴c=1，∴b₁=a+1，q=

b2

b1

=2．
∴b_n=b₁q^n-1=（a+1）•2^n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，屬于中檔題．