Question

4．在△ABC中，tan$\frac{A+B}{2}$=2sinC，若AB=1，則△ABC周長的取值范圍（2，3]．

Answer 1

分析 利用三角形的三角和為π及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡已知的等式，利用三角形中內(nèi)角的范圍，求出∠C的大小，三角形的正弦定理將邊BC，CA用角A的三角函數(shù)表示，利用兩角差的正弦公式展開，再利用三角函數(shù)中的公式asinα+bcosα=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（α+θ）將三角形的周長化簡成y=Asin（ωx+φ）+k形式，利用三角函數(shù)的有界性求出△ABC周長的取值范圍．

解答 解：由tan$\frac{A+B}{2}$=2sinC及$\frac{A+B}{2}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{C}{2}$，得cot$\frac{C}{2}$=2sinC，
∴$\frac{cos\frac{C}{2}}{sin\frac{C}{2}}$=4sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$
∵0＜$\frac{C}{2}$＜$\frac{π}{2}$，cos$\frac{C}{2}$＞0，sin$\frac{C}{2}$＞0，
∴sin²$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{4}$，sin$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{C}{2}$=$\frac{π}{6}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
由正弦定理，得$\frac{AB}{sinC}$=$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{CA}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
△ABC的周長y=AB+BC+CA=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-A）
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA）
=1+2sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴△ABC周長的取值范圍是（2，3]，
故答案為：（2，3]．

點評 解決三角函數(shù)的取值范圍問題一般利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩個角的和、差公式、倍角公式以及公式asinα+bcosα=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（α+θ）將三角函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）+k形式．