Question

設橢圓（a＞b＞0）的焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），直線l：x=a²交x軸于點A，且．
（1）試求橢圓的方程；
（2）過F₁、F₂分別作互相垂直的兩直線與橢圓分別交于D、E、M、N四點（如圖所示），試求四邊形DMEN面積的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）由題意，|F₁F₂|=2c=2，A（a²，0）
∵
∴F₂為AF₁的中點
∴a²=3，b²=2
∴橢圓方程為…（5分）
（2）當直線DE與x軸垂直時，|DE|==，此時|MN|=2a=2，四邊形DMEN的面積．
同理當MN與x軸垂直時，四邊形DMEN的面積．
當直線DE，MN均與x軸不垂直時，設DE：y=k（x+1），代入橢圓方程，消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0
設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=
所以，|x₁-x₂|=，所以|DE|=|x₁-x₂|=，
同理|MN|= …（9分）
所以四邊形的面積=××=
令u=，則S=4-
因為u=≥2，當k=±1時，u=2，S=，且S是以u為自變量的增函數(shù)，所以．
綜上可知，．
故四邊形DMEN面積的最大值為4，最小值為．…（13分）
分析：（1）由題意，|F₁F₂|=2c=2，A（a²，0），利用，可得F₂為AF₁的中點，從而可得橢圓方程；
（2）分類討論：當直線DE（或MN）與x軸垂直時，四邊形DMEN的面積；當直線DE，MN均與x軸不垂直時，設DE：y=k（x+1），代入消去y，求出|DE|，|MN|，從而可得四邊形的面積的表達式，利用換元法，即可求得結論．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查四邊形面積的計算，考查分類討論的數(shù)學思想，考查韋達定理的運用，正確求弦長是關鍵．