Question

2．已知函數f（x）=log₂x，x∈[2，8]，函數g（x）=[f（x）]²-2a•f（x）+3的最小值為h（a）．
（1）求h（a）；
（2）是否存在實數m，n，同時滿足以下條件：①m＞n＞3；②當h（a）的定義域為[n，m]時，值域為[n²，m²]．若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設t=f（x），利用換元法，可將已知函數化為一個二次函數，根據二次函數在定區(qū)間上的最值問題，即可得到h（a）的解析式．
（2）由（1）中h（a）的解析式，易得在h（a）在（3，+∞）上為減函數，進而根據h（a）的定義域為[n，m]時值域為[n²，m²]構造關于m，n的不等式組，如果不等式組有解，則存在滿足條件的m，n的值；若無解，則不存在滿足條件的m，n的值．

解答 解：（1）令t=f（x），
∵函數f（x）=log₂x，x∈[2，8]，
∴t∈[1，3]，y=g（x）=t²-2at+3，
當a≤1時，y=t²-2at+3在[1，3]上為增函數，此時當t=1時，h（a）=4-2a，
當1＜a＜2時，y=t²-2at+3在[1，a]上為減函數，在[a，3]上為增函數，此時當t=a時，h（a）=-a²+3，
當a≥2時，y=t²-2at+3在[1，3]上為減函數，此時當t=2時，h（a）=7-4a，
綜上所述，h（a）=$\left\{\begin{array}{l}4-2a，a≤1\\-{a}^{2}+3，1＜a＜2\\ 7-4a，a≥2\end{array}\right.$，
（2）由（1）得m＞n＞3時，h（a）在定義域為[n，m]中為減函數，
若此時值域為[n²，m²]．
則$\left\{\begin{array}{l}7-4n={m}^{2}\\ 7-4m={n}^{2}\end{array}\right.$，
此時n+m=4，與m＞n＞3矛盾，故不存在滿足條件的m，n的值；

點評 本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質，二次函數的圖象和性質，熟練掌握對數函數的圖象和性質，是解答的關鍵．