Question

已知橢圓的右準(zhǔn)線l₁：x=2與x軸相交于點(diǎn)D，右焦點(diǎn)F到上頂點(diǎn)的距離為，點(diǎn)C（m，0）在線段OF上．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在過(guò)點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，使得？若存在，求出l的斜率；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）．
∵，
∴c=1，
∴b=1，
∴橢圓的方程．
（2）由（1）知F（1，0），
假設(shè)存在直線l，設(shè)其方程為：y=k（x-1），
代入，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），，，
∴，
=，
∵，
而AB的方向向量為（1，k），
∴，
∴，
∴，k=．
故存在過(guò)點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，使得，l的斜率k=．
分析：（1）．，由此能求出橢圓的方程．
（2）由F（1，0），假設(shè)存在直線l，設(shè)其方程為：y=k（x-1），代入，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，再由韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能夠求出存在過(guò)點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，使得，l的斜率k=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．