Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足xf′（x）≤0，且y=f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)|x₁|＜|x₂|時，有（　　）

• A、f（x₁）＞f（x₂）
• B、f（x₁）=f（x₂）
• C、f（x₁）＜f（x₂）
• D、f（|x₂|）＞f（x₁）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由xf′（x）≤0，

x≤0 f′(x)≥0

或

x≥0 f′(x)≤0

，得函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上為增函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）上為減函數(shù)；又y=f（x）為偶函數(shù)，得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y對稱；由|x₁|＜|x₂|f（|x₁|）＞f（|x₂|），由于f（|x₂|）=f（x₂）即得結(jié)論．

解答： 解：由xf′（x）≤0，

x≤0 f′(x)≥0

或

x≥0 f′(x)≤0

，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上為增函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）上為減函數(shù)；
又y=f（x）為偶函數(shù)，
所以f（x）=f（-x），
得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y對稱；
由|x₁|＜|x₂|，
所以f（|x₁|）＞f（|x₂|），
由f（|x|）=f（x）
即f（x₁）＞f（x₂），
故選：A

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用奇偶性等量關(guān)系求解，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間[0，+∞）上為減函數(shù)判斷．