Question

（2012•三明模擬）已知F₁、F₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，M、N分別是直線l：

x

a

+

y

b

=m（m是大于零的常數(shù)）與x軸、y軸的交點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)P在橢圓C上．
（Ⅰ）求常數(shù)m的值；
（Ⅱ）試探究直線l與橢圓C是否還存在異于點(diǎn)P的其它公共點(diǎn)？請(qǐng)說明理由；
（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，試求△PF₁F₂面積的最大值，并求△PF₁F₂面積取得最大值時(shí)橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得M（ma，0）、N（0，mb），從而可得MN的中點(diǎn)為P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)P在橢圓C上，即可求常數(shù)m的值；
（Ⅱ）（解法一）由（Ⅰ）得l：

x

a

+

y

b

=

2

，與方程C聯(lián)立消元，由此可得直線l與橢圓C相切時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)；
（解法二）由（Ⅰ）得l：

x

a

+

y

b

=

2

，與方程C聯(lián)立，可得

x a + y b = 2 x a • y b = 1 2

，從而

x

a

和

y

b

是方程x2-

2

x+

1

2

=0的兩根，由此可得直線l與橢圓C的公共點(diǎn)是唯一的點(diǎn)P；
（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，表示△PF₁F₂面積，利用基本不等式，可求△PF₁F₂面積的最大值，從而可得橢圓C的方程．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得M（ma，0）、N（0，mb），
故MN的中點(diǎn)為P(

ma

2

，

mb

2

)，
又點(diǎn)P在橢圓C上，∴

m2

4

+

m2

4

=1，所以m=

2

．-------（4分）
（Ⅱ）（解法一）由（Ⅰ）得l：

x

a

+

y

b

=

2

，
與方程C聯(lián)立得：2b2x2-2

2

ab2x+a2b2=0，
即2x2-2

2

ax+a2=0，
由于△=(2

2

a)2-4×2×a2=0，
∴此方程有兩個(gè)相等實(shí)根x=

2 a

2

，
故直線l與橢圓C相切，切點(diǎn)為P(

2 a

2

，

2 b

2

)，
除此之外，不存在其他公共點(diǎn)．---------------------（8分）
（解法二）由（Ⅰ）得l：

x

a

+

y

b

=

2

，與方程C聯(lián)立得：

x a + y b = 2 x2 a2 + y2 b2 =1

所以

x2 a2 + y2 b2 +2 x a • y b =2 x2 a2 + y2 b2 =1

，則

x a + y b = 2 x a • y b = 1 2

∴

x

a

和

y

b

是方程x2-

2

x+

1

2

=0的兩根，
又△=(

2

)2-4×

1

2

=0，∴此方程有兩個(gè)相等實(shí)根，即

x

a

=

y

b

=

2

2

，
∴直線l與橢圓C的公共點(diǎn)是唯一的點(diǎn)P(

2

2

a，

2

2

b)，
即除點(diǎn)P以外，不存在其他公共點(diǎn)．--------------（8分）
（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，S△PF1F2=

1

2

|F1F2|•

2

2

b=

2

2

cb，
所以S△PF1F2≤

2

2

×

b2+c2

2

=

2

4

a2=

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=

2

時(shí)，等式成立，故(S△PF1F2)max=

2

此時(shí)，橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

2

=1．-------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，聯(lián)立直線與橢圓方程是關(guān)鍵．