Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx-x+1，g（x）=x²-2lnx-1，
（Ⅰ）h（x）=4f（x）-g（x），試求 h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若x≥1時(shí)，恒有af（x）≤g（x），求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）令構(gòu)造函數(shù)φ（x）=af（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，解決恒成立問題，這里要用到二次求導(dǎo)．

解答： （Ⅰ）解：h（x）=4f（x）-g（x）=4xlnx+2lnx-x²-4x+5，
h（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），則h′(x)=4lnx-2x+

2

x

，
記h^″（x）為h′（x）的導(dǎo)函數(shù)，則h″(x)=-

2(x-1)2

x2

≤0，
故h′（x）在其定義域（0，+∞）上單調(diào)遞減，且有h'（1）=0，
則令h'（x）＜0可得x＞1，令h'（x）＞0得0＜x＜1，
故h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；
（Ⅱ）令φ（x）=af（x）-g（x），則有x≥1時(shí)φ（x）≤0．
φ（x）=axlnx+2lnx-ax-x²+a+1，φ′(x)=alnx-2x+

2

x

，
記φ''（x）為φ'（x）的導(dǎo)函數(shù)，則φ″(x)=

1

x

(a-2x-

2

x

)，
因?yàn)楫?dāng)x≥1時(shí)，x+

1

x

≥2，故a-2x-

2

x

≤a-4．
①若a-4≤0，即a≤4，此時(shí)φ''（x）≤0，故φ'（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x≥1時(shí)有φ'（x）≤φ'（1）=0，故φ（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x≥1時(shí)有φ（x）≤φ（1）=0，故a≤4時(shí)，原不等式恒成立；
②若a-4＞0，即a＞4，令φ″(x)=

1

x

(a-2x-

2

x

)＞0可得1≤x＜

a+ a2-16

4

，
故φ'（x）在區(qū)間[1，

a+ a2-16

4

)上單調(diào)遞增，故當(dāng)1＜x＜

a+ a2-16

4

時(shí)，φ'（x）＞φ'（1）=0，
故φ（x）在區(qū)間[1，

a+ a2-16

4

)上單調(diào)遞增，故當(dāng)1＜x＜

a+ a2-16

4

時(shí)，φ（x）＞φ（1）=0，
故a＞4時(shí)，原不等式不恒成立．
綜上可知a≤4，即a的取值范圍為（-∞，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由恒成立問題求式中參數(shù)的范圍，運(yùn)用二次求導(dǎo)數(shù)，分類討論，函數(shù)與方程，化歸等思想．屬于難題．