Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若函數(shù)有唯一零點，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）

【解析】

(Ⅰ)時,求出導(dǎo)函數(shù),求出,將代入到中得到曲線在點處的切線的斜率,求出,然后利用點斜式求出曲線在點處的切線方程.

（Ⅱ）先利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在R上有唯一零點,且函數(shù)在上遞,在上遞增,所以函數(shù) 在 處取得最小值,再根據(jù)函數(shù)有唯一零點可得,然后根據(jù)以及聯(lián)立消去,得到,然后構(gòu)造函數(shù),通過導(dǎo)數(shù)的方法可得有唯一零點,且,最后將代入到可以解得的值.

（Ⅰ）當時，.

.

.

又，

曲線在點處的切線方程為，即.

（Ⅱ）.

令，則.

，函數(shù)在僅有一個零點.

存在，使得.

即存在滿足時，.

當，即時，.

在上單調(diào)遞減；

當，即時，.

在上單調(diào)遞增.

又當時，，，；

當時，，.

當時，，當時，.

由題意，函數(shù)有唯一零點時，必有.①

又，②

由①②消去，得.

令.，單調(diào)遞增.

又，

方程有唯一解.

將代入，解得.

當函數(shù)有唯一零點時，的值為.