Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a-3）e^3-x
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)a＞0，g（x）=（a²+8）e^x，確定f（x）與g（x）在[0，4]上值域；
（3）若存在x₁，x₂∈[0，4]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜3成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)乘法的運算法則求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后討論f'（x）=0時兩根大小，然后分別解不等式f'（x）＜0與f'（x）＞0，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）知，當(dāng)a＞0時，f（x）在區(qū)間[0，4]上的單調(diào)性，從而求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，4]上的值域，根據(jù)g（x）在[0，4]上單調(diào)遞增，可求出g（x）在[0，4]的值域；
（3）若F∩G≠∅，則一定存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜3成立，若F∩G=∅，則只要|f_max（x）-g_min（x）|＜3或|g_max（x）-f_min（x）|＜3，建立關(guān)于a的不等關(guān)系，解之即可．

解答：解：（1）f'（x）=-[x²+（a-2）x-3a-3]e^3-x=-（x-3）（x+a+1）e^3-x
當(dāng)a＜-4時，f'（x）＜0⇒x＜3或x＞-a-1，f'（x）＞0⇒3＜x＜-a-1．
∴f（x）單調(diào)減區(qū)間為（-∞，3），（-a-1，+∞），單調(diào)增區(qū)間為（3，-a-1）．
當(dāng)a＞-4時，f'（x）＜0⇒x＞3或x＜-a-1，f'（x）＞0⇒-a-1＜x＜3．
∴f（x）單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-a-1），（3，+∞），單調(diào)增區(qū)間為（-a-1，3）．
當(dāng)a=-4時，f'（x）≤0，f（x）單調(diào)減區(qū)間為，（-∞，+∞）．
（2）由（1）知，當(dāng)a＞0時，f（x）在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)遞增，
在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞減，而f（0）=-（2a+3）e³，f（4）=（2a+13）e^-1，f（3）=a+6．
那么f（x）在區(qū)間[0，4]上的值域是F=[-（2a+3）e³，a+6]
g（x）在[0，4]的值域為G=[a²+8，（a²+8）e⁴]，
（3）若F∩G≠∅，則一定存在x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜3成立．
若F∩G=∅，則只要|f_max（x）-g_min（x）|＜3或|g_max（x）-f_min（x）|＜3，
由于（a²+8）e⁴＞a²+8＞a+6＞-（2a+3）e³．
所以，

a2+8-(a+6)＜3 a＞0

．
解得：0＜a＜

1+ 5

2

．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．