Question

設點F是拋物L：y²=2px（p＞0）的焦點，P₁，P₂，…，P_n是拋物線L上的n個不同的點n（n≥3，n∈N^*）．
（1）當p=2時，試寫出拋物線L上三點P₁、P₂、P₃的坐標，時期滿足；
（2）當n≥3時，若，求證：；
（3）當n＞3時，某同學對（2）的逆命題，即：“若，則”開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題．
請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究：
1．試構造一個說明該命題確實是假命題的反例；
2．對任意給定的大于3的正整數(shù)n，試構造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由：
3．如果補充一個條件后能使該命題為真，請寫出你認為需要補充的一個條件，并說明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線l的焦點為F（，0），設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），利用拋物線的定義可得x₁+x₂+x₃=3，故可取滿足條件的三點；
（2）設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分別過P₁、P₂、P₃，…，P_n作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n，利用拋物線的定義可得x₁+x₂+x₃+…+x_n=，從而可證=np
（3）①取n=4時，拋物線l的焦點為F（，0），設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄），分別過P₁、P₂、P₃，P₄作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，Q₄，利用拋物線的定義，可得x₁+x₂+x₃+x₄=2p，從而可得結論；
②設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分別過P₁、P₂、P₃，…，P_n作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n，利用拋物線的定義，可得x₁+x₂+x₃+…+x_n=，從而可得結論；
③補充條件：點P_i的縱坐標滿足y₁+y₂+…+y_n=0，即當n＞3時，，點P_i的縱坐標滿足y₁+y₂+…+y_n=0，則．
解答：解：（1）拋物線l的焦點為F（，0），設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），
分別過P₁、P₂、P₃作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，
∴=（x₁+）+（x₂+）+（x₃+）=x₁+x₂+x₃+=6
∵p=2，∴x₁+x₂+x₃=3
故可取P₁（），P₂（1，2），P₃（，）滿足條件；
（2）設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分別過P₁、P₂、P₃，…，P_n作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n
∴=（x₁+）+（x₂+）+（x₃+）+…+（x_n+）=x₁+x₂+x₃+…+x_n+
∵           
∴x₁+x₂+x₃+…+x_n=
∴=+=np
（3）①取n=4時，拋物線l的焦點為F（，0），設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄），分別過P₁、P₂、P₃，P₄作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，Q₄，
∴=x₁+x₂+x₃+x₄+2p=4p
∴x₁+x₂+x₃+x₄=2p
不妨取，，，，則
故，，，是一個當n=4時，該逆命題的一個反例；
②設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分別過P₁、P₂、P₃，…，P_n作拋物線的準線l的垂線，垂足分別為Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n
∵，∴x₁+x₂+x₃+…+x_n+=np，∴x₁+x₂+x₃+…+x_n=
因為上述表達式與點的縱坐標無關，所以將這n點都取在x軸的上方，則它們的縱坐標都大于0，則
=（0，y₁+y₂+…+y_n）≠
③補充條件：點P_i的縱坐標滿足y₁+y₂+…+y_n=0，即當n＞3時，，點P_i的縱坐標滿足y₁+y₂+…+y_n=0，則
由②知，命題為真．
點評：本題考查拋物線的定義，考查向量的運算，解題的關鍵是正確運用拋物線的定義，難度較大．