Question

已知，e為自然對數(shù)lnx的底數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)0＜α＜β時，求證：；
（Ⅲ）求f（x）-x的最大值，并證明當(dāng)n＞2，n∈N^*時，．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間即h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，然后將a分離，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出不等式另一側(cè)的最值，即可求出實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)ϕ（x）在（0，y）的單調(diào)性，求最小值，即可證得結(jié)論；
（Ⅲ）令m（x）=f（x）-x=lnx-x，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)m（x）的單調(diào)性，從而可求出最值，得到lnx≤-1+x，從而得到，從而可證得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：函數(shù)．
∴在（0，+∞）上有解，
即ax²+3x-1＞0在（0，+∞）上有解，
由ax²+3x-1＞0得．
∵當(dāng)x＞0，
∴a的范圍是．                                          …（4分）
（Ⅱ）證明：構(gòu)造函數(shù)．
∴．
∵0＜x＜y，
∴，即函數(shù)ϕ（x）在（0，y）上是減函數(shù)，且ϕ（y）=0．
∴，
原不等式成立．              …（8分）
（Ⅲ）證明：∵，令m（x）=f（x）-x=lnx-x，
∴
∴函數(shù)m（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
∴m（x）≤m（1），即f（x）-x的最大值為-1．                     …（11分）
由m（x）≤m（1）得lnx≤-1+x．
∴，…（12分）
∴=
當(dāng)n＞2，n∈N^*時，． …（14分）
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和構(gòu)造法的應(yīng)用，同時考查了計算能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．