Question

8．已知橢圓C的焦點(diǎn)是F₁（-2$\sqrt{2}$，0}），F(xiàn)₂（2$\sqrt{2}$，0），其上的動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|=4$\sqrt{3}$．點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C的下頂點(diǎn)為R．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)（0，1）且斜率為k的直線l₂交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，試證明：無論k取何值，$\overrightarrow{RM}$•$\overrightarrow{RN}$恒為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意設(shè)出橢圓方程，由已知求得a，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）寫出直線l₂的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到M，N兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得$\overrightarrow{RM}$•$\overrightarrow{RN}$恒為定值．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）．
∵$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=4\sqrt{3}$，∴$2a=4\sqrt{3}$，a=$2\sqrt{3}$．
又$c=2\sqrt{2}$，∴a²=12，b²=a²-c²=4，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$；
（Ⅱ）證明：設(shè)l₂：y=kx+1，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}+3{y^2}-12=0\end{array}\right.$，
消去y得（1+3k²）x²+6kx-9=0，
又∵點(diǎn)（0，1）在橢圓C內(nèi)，∴△＞0恒成立．
設(shè)M （x₁，kx₁+1），N（x₂，x₂+1），
則${x_1}+{x_2}=\frac{-6k}{{1+3{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{-9}{{1+3{k^2}}}$，
易知R（0，-2），$\overrightarrow{RM}$=（x₁，kx₁+3），$\overrightarrow{RN}$=（x₂，kx₂+3），
∴$\overrightarrow{RM}$•$\overrightarrow{RN}$=x₁x₂+（kx₁+3）（kx₂+3）=（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9
=（1+k²）•$\frac{-9}{{1+3{k^2}}}$+3k•$\frac{-6k}{{1+3{k^2}}}$+9=0，與k無關(guān)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線和圓錐曲線間的關(guān)系，考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，是中檔題．