Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，且點(diǎn)A_n（a_n，a_n+1）在函數(shù)y=的圖象上．
（1）證明：為等差數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）若{b_n}表示直線A_nA_n+1的斜率，且b_n＞m²-2m+對(duì)n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用點(diǎn)A_n（a_n，a_n+1）在函數(shù)y=的圖象上，可得，兩邊取倒數(shù)得，得到，即可證明；
（2）利用（1）可得b_n，即可得出其最小值，已知b_n＞m²-2m+對(duì)n∈N^*恒成立?，解出即可．
解答：（1）證明：∵點(diǎn)A_n（a_n，a_n+1）在函數(shù)y=的圖象上，∴，
兩邊取倒數(shù)得，得到，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，
∴=n，∴．
（2）解：∵b_n===，∴，
∴b_n+1-b_n==＞0，即數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列，其最小值為．
∵b_n＞m²-2m+對(duì)n∈N^*恒成立，∴，
即，化為m²-3m＜0，解得0＜m＜3．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，3）．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握“取倒數(shù)法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式、把已知等價(jià)轉(zhuǎn)化、一元二次不等式的解法等是解題的關(guān)鍵．