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已知a＞0，b＞0，且h=min {a，  
b
a2+4b2
}，其中min{a，b}表示數a，b中較小的數，則h的最大值為
1
2
1
2
．
分析：將兩個數a與
b
a2+4b2
相乘，得到
ab
a2+4b2
=
1
a
b
+
4b
a
，運用基本不等式得到這個積的最大值為
1
4
，再根據a與
b
a2+4b2
兩個數都是正數，討論得當且僅當兩個正數相等時，它們當中的較小數取最大值，可得正確答案．
解答：解：∵a＞0，b＞0
∴a•
b
a2+4b2
=
ab
a2+4b2
＞0
∵
ab
a2+4b2
=
1
a
b
+
4b
a
且
a
b
+
4b
a
≥ 2
a
b
 •
4b
a
=4
∴
ab
a2+4b2
≤
1
4
，當且僅當a=2b時，取等號
∵a與
b
a2+4b2
兩個數都是正數，且積為
1
4

∴當a=2b=
1
2
，即a=
1
2
，b=
1
4
時，a與
b
a2+4b2
相等且為
1
2
，
當a≠2b時，a與
b
a2+4b2
不相等，且較小的數小于
1
2
，較大的數大于
1
2

所以，當a=2b=
1
2
，即a=
1
2
，b=
1
4
時，時h=min {a， 
b
a2+4b2
}的值最大
且這個最大值為
1
2

故答案為：
1
2
點評：本題以函數的最值為載體，考查了基本不等式求最值和函數的最值及其幾何意義等知識點，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知a＞0，b＞0，且ab=1，α=a+
4
a
，β=b+
4
b
，則α+β的最小值為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）在平面直角坐標系xOy中，判斷曲線C：
x=2cosθ
y=sinθ
（θ為參數）與直線l：
x=1+2t
y=1-t
（t為參數）是否有公共點，并證明你的結論．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：
1
2a+1
+
4
2b+1
≥
9
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)二模）已知雙曲線C的中心在原點，D（1，0）是它的一個頂點，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點 （A，B都不同于點D），求證：
DA
•
DB
為定值；
（3）對于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點，M，N為雙曲線Γ上的兩點（都不同于點E），且EM⊥EN，那么直線MN是否過定點？若是，請求出此定點的坐標；若不是，說明理由．然后在以下三個情形中選擇一個，寫出類似結論（不要求書寫求解或證明過程）．
情形一：雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左頂點；
情形二：拋物線y2=2px（p＞0）及它的頂點；
情形三：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的頂點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a＞0，b＞0，a+b=1，則a+
1
a
+b+
1
b
的最小值為
5
5
．

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科目：高中數學 來源：松江區(qū)二模 題型：解答題

已知雙曲線C的中心在原點，D（1，0）是它的一個頂點，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點 （A，B都不同于點D），求證：
DA
•
DB
為定值；
（3）對于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點，M，N為雙曲線Γ上的兩點（都不同于點E），且EM⊥EN，那么直線MN是否過定點？若是，請求出此定點的坐標；若不是，說明理由．然后在以下三個情形中選擇一個，寫出類似結論（不要求書寫求解或證明過程）．
情形一：雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左頂點；
情形二：拋物線y2=2px（p＞0）及它的頂點；
情形三：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的頂點．

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