Question

設(shè)橢圓T：（a＞b＞0），直線l過橢圓左焦點F₁且不與x軸重合，l與橢圓交于P、Q，當l與x軸垂直時，|PQ|=，F(xiàn)₂為橢圓的右焦點，M為橢圓T上任意一點，若△F₁MF₂面積的最大值為．
（1）求橢圓T的方程；
（2）直線l繞著F₁旋轉(zhuǎn)，與圓O：x²+y²=5交于A、B兩點，若|AB|∈（4，）），求△F₂PQ的面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可將x=-c代入橢圓方程可得，結(jié)合c=可得y=，從而可求|PQ|，再由△F₁MF₂面積的最大值為可得=，由方程可求a，b進而可求橢圓方程
（2）設(shè)直線L：x=my-1，可求圓心O到直線L的距離d，由圓的性質(zhì)可知AB=2=
由，可求m的范圍，聯(lián)立方程組消去x，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可得，，代入=，代入整理，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求S的范圍
解答：解：（1）由題意可將x=-c代入橢圓方程可得，
∵c=
∴即y=
∴|PQ|=①
由已知可得=②
①②聯(lián)立可得a²=3，b²=2
∴橢圓的方程為
（2）設(shè)直線L：x=my-1即x-my+1=0，圓心O到直線L的距離d=
由圓的性質(zhì)可知AB=2=
又，則
∴m²≤3
聯(lián)立方程組消去x可得（2m²+3）y²-4my-4=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則
==

==（令t=m²+1∈[1，4]）
設(shè)f（t）=（t∈[1，4]）
則對一切t∈[1，4]恒成立
∴f（t）=4t+在[1，4]上單調(diào)遞增，4t+
∴
點評：本題主要考查了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程，點到直線的距離公式，圓的性質(zhì)的應(yīng)用，直線與圓錐曲線的相交關(guān)系的應(yīng)用，還要具備一定的邏輯推理與運算的能力．