已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線OA，OB的斜率之積為
1
2
，問是否存在直線l，使△AOB的面積的值為
2
2
？若存在，求直線的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）利用橢圓短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，建立方程組，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）把直線方程y=kx+m代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及直線OA，OB的斜率之積為
1
2
，求出k，再利用△AOB的面積的值為
2
2
，即可得出結(jié)論．
解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，
∴
b=1
a2-1
a
=
2
2
，
∴a=
2
，b=1，
∴橢圓C的方程
x2
2
+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
把直線方程y=kx+m代入橢圓方程，消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，
∴x1+x2=-
4km
2k2+1
，x1x2=
2m2-2
2k2+1

∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
m2-2k2
2k2+1
，
∵直線OA，OB的斜率之積為
1
2
，
∴
y1y2
x1x2
=
1
2
，
∴k=0，
∴y=m，x=±
2-2m2
，
∴△AOB的面積為
1
2
•|2x||m|=|m|•
2-2m2
，
∴|m|•
2-2m2
=
2
2

∴m=±
2
2

∴存在直線l：y=±
2
2
，使△AOB的面積的值為
2
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的連續(xù)函數(shù)y=f（x），對(duì)任意x滿足f（4-x）=f（x），（x-2）f′（x）＜0．則下列結(jié)論正確的有
 

①函數(shù)y=f（x+2）為偶函數(shù)；
②f（
2
）＞f（sin18°+cos18°）；
③若f（2）=2014，f（2014）=-2，則y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
④若x1＜x2且x1+x2＞4則f（x1）＜f（x2）；
⑤在△ABC中，若三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且f（
3
sinA）＜f（sin（C-
π
6
）），則△ABC為鈍角三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+x-1．
（1）求f（2）； 
（2）求f（
1
x
+1）；
（3）若f（x）=5，求x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，終邊與單位圓O交于點(diǎn)A（x1，y1），α∈（
π
4
，
π
2
）．將角α終邊繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)
π
4
，交單位圓于點(diǎn)B（x2，y2）．
（1）若x1=
3
5
，求x2；
（2）過A，B作x軸的垂線，垂足分別為C，D，記△AOC及△BOD的面積分別為S1，S2，且S1=
4
3
S2，求tanα的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x2-ax+1，若存在t∈[1，3]，使f（-t2-1）=f（2t），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-mx+m-1，若對(duì)于區(qū)間[2，
5
2
]內(nèi)任意兩個(gè)相異實(shí)數(shù)x1，x2，總有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2，一條準(zhǔn)線方程為x=2．P為橢圓C上一點(diǎn)，直線PF1交橢圓C于另一點(diǎn)Q．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，b），求過P，Q，F(xiàn)2三點(diǎn)的圓的方程；
（3）若
F1P
=λ
QF1
，且λ∈[
1
2
，2]，求
OP
•
OQ
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，直線l：y=x+b與拋物線x2=4y相切于點(diǎn)A．
（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）若過拋物線的焦點(diǎn)且平行于直線l的直線l1交拋物線于B，C兩點(diǎn)，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若關(guān)于x的方程x2+2x+m=0在-1≤x≤1內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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