【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的長軸是短軸的兩倍,點P( , )在橢圓上,不過原點的直線l與橢圓相交于A、B兩點,設直線OA、l、OB的斜率分別為k1、k、k2 , 且k1、k、k2恰好構成等比數列,記△AOB的面積為S.
(1)求橢圓C的方程;
(2)試判斷|OA|2+|OB|2是否為定值?若是,求出這個值;若不是,請說明理由?
(3)求△AOB面積S的取值范圍.
【答案】
(1)解:由題意可知a=2b且 ,∴a=2,b=1,∴橢圓C的方程為:
(2)解:設直線l的方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
由直線l的方程代入橢圓方程,消去y得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,
∴x1+x2=﹣ ,x1x2= ,且△=16(1+4k2﹣m2)>0,
∵k1、k、k2恰好構成等比數列.
∴k2=k1k2= .
∴﹣4k2m2+m2=0,∴k=± .
∴x1+x2=±2m,x1x2=2m2﹣2
∴|OA|2+|OB|2=x12+y12+x22+y22= [(x1+x2)2﹣2x1x2]+2=5,
∴|OA|2+|OB|2是定值為5
(3)解:S= |AB|d= = .
當且僅當m=±1時,S的最大值為1
【解析】(1)根據橢圓C: =1(a>b>0)的長軸是短軸的兩倍,點P( , )在橢圓上,建立方程,求出幾何量,即可求橢圓C的方程.(2)設直線l的方程為y=kx+m,代入橢圓方程,消去y,根據k1、k、k2恰好構成等比數列,求出k,進而表示出|OA|2+|OB|2 , 即可得出結論;(3)表示出△ABO的面積,利用基本不等式,即可求S的最大值.
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【題目】設橢圓C: 的離心率e= ,左頂點M到直線 =1的距離d= ,O為坐標原點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設直線l與橢圓C相交于A,B兩點,若以AB為直徑的圓經過坐標原點,證明:點O到直線AB的距離為定值;
(3)在(2)的條件下,試求△AOB的面積S的最小值.
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【題目】已知⊙C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0(m∈R)
(1)求證:對任意m∈R,直線l與⊙C恒有兩個交點;
(2)求直線l被⊙C截得的線段的最短長度,及此時直線l的方程.
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【題目】已知四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面 ABCD,且PA=AD=DB= ,AB=1,M是PB的中點.
(1)證明:面PAD⊥面PCD;
(2)求AC與PB所成的角;
(3)求平面AMC與平面BMC所成二面角的大。
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【題目】已知F1 , F2分別為雙曲線C: =1的左、右焦點,若存在過F1的直線分別交雙曲線C的左、右支于A,B兩點,使得∠BAF2=∠BF2F1 , 則雙曲線C的離心率e的取值范圍是( )
A.(3,+∞)
B.(1,2+ )
C.(3,2+ )
D.(1,3)
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【題目】定義運算為:a*b= ,如1*2=1,則函數f(x)=|2x*2﹣x﹣1|的值域為( )
A.[0,1]
B.[0,1)
C.[0,+∞)
D.[1,+∞)
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【題目】如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1,E,F是線段B1D上的兩個動點,且EF= ,則下列結論錯誤的是( )
A.AC⊥BF
B.直線AE,BF所成的角為定值
C.EF∥平面ABC
D.三棱錐A﹣BEF的體積為定值
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【題目】為吸引顧客,某公司在商場舉辦電子游戲活動.對于兩種游戲,每種游戲玩一次均會出現兩種結果,而且每次游戲的結果相互獨立,具體規(guī)則如下:玩一次游戲,若綠燈閃亮,獲得分,若綠燈不閃亮,則扣除分(即獲得分),綠燈閃亮的概率為;玩一次游戲,若出現音樂,獲得分,若沒有出現音樂,則扣除分(即獲得分),出現音樂的概率為.玩多次游戲后累計積分達到分可以兌換獎品.
(1)記為玩游戲和各一次所得的總分,求隨機變量的分布列和數學期望;
(2)記某人玩次游戲,求該人能兌換獎品的概率.
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