Question

為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗 ，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層，某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用 (單位：萬元)與隔熱層厚度(單位：cm)滿足關(guān)系：，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元．設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．

（Ⅰ）求的值及的表達(dá)式；

（Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費(fèi)用達(dá)到最小，并求最小值

 

Answer 1

【答案】

(1) 解：（Ⅰ）設(shè)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為．

再由C（0）=8，得k=40，

因此．

而建造費(fèi)用為C1（x）=6x，

最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為

（Ⅱ），令f'（x）=0，即．

解得x=5，（舍去）．

當(dāng)0＜x＜5時，f′（x）＜0，當(dāng)5＜x＜10時，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值點(diǎn)，對應(yīng)的最小值為．

當(dāng)隔熱層修建5cm厚時，總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬元．

【解析】1）由建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元．我們可得C（0）=8，得k=40，進(jìn)而得到．建造費(fèi)用為C1（x）=6x，則根據(jù)隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f（x），我們不難得到f（x）的表達(dá)式．

（2）由（1）中所求的f（x）的表達(dá)式，我們利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性易求出總費(fèi)用f（x）的最小值．