Question

已知點(diǎn)的序列A_n（x_n，0），n∈N^*，其中x_l=0，x₂=a（a＞0），A₃是線段A_lA₂的中點(diǎn)，A₄是線段A₂A₃的中點(diǎn)，…，A_n是線段A_n-2A_n-1的中點(diǎn)，…．
（1）寫出x_n與x_n-1、x_n-2之間的關(guān)系式（n≥3）；
（2）設(shè)a_n=x_n+1-x_n，計算a_l，a₂，a₃，由此推測數(shù)列{a_n}的通項公式，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，A_n是線段A_n-2A_n-1的中點(diǎn)，可得x_n與x_n-1、x_n-2之間的關(guān)系式，
（2）由題意知a₁=a，a₂=-a，a₃=a，由此推測：a_n=（-）^n-1a（n∈N^*）再進(jìn)行證明．
解答：解：（1）根據(jù)題意，A_n是線段A_n-2A_n-1的中點(diǎn)，則有
當(dāng)n≥3時，x_n=．
（2）a₁=x₂-x₁=a，a₂=x₃-x₂=-x₂=-（x₂-x₁）=-a，
a₃=x₄-x₃=-x₃=-（x₃-x₂）=-（-a）=a，
由此推測：a_n=（-）^n-1a（n∈N^*）．
證明如下：因?yàn)閍₁=a＞0，且a_n=x_n+1-x_n=-x_n=
=-（x_n-x_n-1）
=-a_n-1（n≥2），
所以a_n=（-）^n-1a．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意公式的靈活運(yùn)用．