Question

5．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a、b、c，tanC=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的外接圓直徑為1，求△ABC面積S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先將tanC寫成$\frac{sinC}{cosC}$，再展開化為sin（C-A）=sin（B-C），從而求得A+B；
（2）先用正弦定理，再用面積公式，結(jié)合A-B的范圍，求面積的范圍．

解答 解：（1）∵tanC=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，∴$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，
即sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，
所以，sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，
因此，sin（C-A）=sin（B-C），
所以，C-A=B-C或C-A=π-（B-C）（不成立），
即2C=A+B，故C=$\frac{π}{3}$；
（2）根據(jù)正弦定理，外接圓直徑2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=1，
所以，a=2RsinA=sinA，b=2RsinB=sinB，
而S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinAsinB
=$\frac{\sqrt{3}}{8}$[cos（A-B）-cos（A+B）]
=$\frac{\sqrt{3}}{8}$[cos（A-B）+$\frac{1}{2}$]，
其中，A+B=$\frac{2π}{3}$，所以，A-B∈（-$\frac{2π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
因此，cos（A-B）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
所以，S_△ABC=∈（0，$\frac{3\sqrt{3}}{16}$]，
故△ABC面積S的取值范圍為：$S∈（{0，\frac{3}{16}\sqrt{3}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換，涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和差的正弦公式，以及運(yùn)用正弦定理解三角形和面積的求解，屬于中檔題．