Question

在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域．點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A．某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距40海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且與點(diǎn)A相距10海里的位置C．
（I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）；
（II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛．判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)題意畫出簡(jiǎn)圖確定AB、AC、∠BAC的值，根據(jù)sinθ=求出θ的余弦值，再由余弦定理求出BC的值，從而可得到船的行駛速度．
（2）先假設(shè)直線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，根據(jù)余弦定理求出cos∠ABC的值，進(jìn)而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的長(zhǎng)度，從而可確定Q在點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，根據(jù)QE=AE-AQ求出QE的長(zhǎng)度，然后過點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離，進(jìn)而在Rt△QPE中求出PE的值在于7進(jìn)行比較即可得到答案．
解答：解：（I）如圖，AB=40，AC=10，．
由于0°＜θ＜90°，所以cosθ=．
由余弦定理得BC=．
所以船的行駛速度為（海里/小時(shí)）．

（II）如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q．
在△ABC中，由余弦定理得，
==．
從而．
在△ABQ中，由正弦定理得，
AQ=．
由于AE=55＞40=AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE=AE-AQ=15．
過點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離．
在Rt△QPE中，PE=QE•sin∠PQE=QE•sin∠AQC=QE•sin（45°-∠ABC）
=．
所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用．考查學(xué)生的運(yùn)算能力、綜合考慮問題的能力．