Question

若斜率為2的動(dòng)直線l與拋物線x²=4y相交于不同的兩點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若線段AB上的點(diǎn)P滿足，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）對(duì)于（1）中的點(diǎn)P，若點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為Q，且，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)l的方程為y=2x+b，l與C的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
點(diǎn)P（x，y），由，
得，依題意，
故所求的軌跡方程為x=4（y＞4）．
（2）（理）由（1）知x₁+x₂=8，y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2b=16+2b，
由，
解得-26≤b≤10，注意到b＞-4，
∴-4＜b≤10
分析：（1）設(shè)l的方程為y=2x+b，l與C的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），點(diǎn)P（x，y），由，得，由此能得到所求的軌跡方程．
（2）由x₁+x₂=8，y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2b=16+2b，知，由此能夠求出直線l在y軸上截距的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程和直線l在y軸上截距的取值范圍．解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理地運(yùn)用圓錐曲線的性質(zhì)，注意靈活地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．