Question

【題目】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，且anSn+1﹣an+1Sn＝an+1﹣λan，對(duì)一切n∈N*都成立.

（1）當(dāng)λ＝1時(shí)；

①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

②若bn＝（n+1）an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和Tn；

（2）是否存在實(shí)數(shù)λ，使數(shù)列{an}是等差數(shù)列如果存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）①an＝2n﹣1②Tn＝n2n（2）存在；λ＝0

【解析】

（1）化簡(jiǎn)得到，根據(jù)累乘法計(jì)算得到Sn+1+1＝2an+1，得到數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，得到答案，再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算得到答案.

（2）要使數(shù)列{an}是等差數(shù)列，必須有2a2＝a1+a3，解得λ＝0，λ＝0，計(jì)算得到an＝1，得到答案.

（1）①當(dāng)λ＝1時(shí)，anSn+1﹣an+1Sn＝an+1﹣an，則anSn+1+an＝an+1Sn+an+1，

即（Sn+1+1）an＝（Sn+1）an+1.

∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴.

∴，

化簡(jiǎn)，得Sn+1+1＝2an+1，①，∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn+1＝2an，②

②﹣①，得an+1＝2an，

∵當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝2，∴n＝1時(shí)上式也成立，

∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，即an＝2n﹣1.

②由①知，bn＝（n+1）an＝（n+1）2n﹣1.

Tn＝b1+b2+…+bn＝21+321+…+（n+1）2n﹣1，

2Tn＝22+322+…+n2n﹣1+（n+1）2n，

兩式相減，可得﹣Tn＝2+2+22+…+2n﹣1﹣（n+1）2n＝2（n+1）2n＝﹣n2n.

∴Tn＝n2n.

（2）由題意，令n＝1，得a2＝λ+1；令n＝2，得a3＝（λ+1）2.

要使數(shù)列{an}是等差數(shù)列，必須有2a2＝a1+a3，解得λ＝0.

當(dāng)λ＝0時(shí)，Sn+1an＝（Sn+1）an+1，且a2＝a1＝1.

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn+1（Sn﹣Sn﹣1）＝（Sn+1）（Sn+1﹣Sn），

整理，得Sn2+Sn＝Sn+1Sn﹣1+Sn+1，即，

從而，

化簡(jiǎn)，得Sn+1＝Sn+1，即an+1＝1.

綜上所述，可得an＝1，n∈N*.

∴λ＝0時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列.